2.4. Ранг матрицы

Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.

Пример. У матрицы А = миноры 1-го порядка: 1, 2, 3, 1, … , 9, –7;

миноры 2-го порядка: , , , , … ;

миноры 3-го порядка: , , .

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначения: r ( A ), rang ( A ).

Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен ее рангу. Базисных миноров может быть несколько.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы

При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется. Поэтому для нахождения ранга матрицы А ее с помощью элементарных преобразований нужно привести к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк ступенчатой матрицы и есть искомый ранг матрицы А.

Пример. Найти ранг матрицы А = .

• ~ ~ ~ => r(A) = 2.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы

1. Найти какой-нибудь минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r ( A ) = 0.

2. Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁) до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r ( A ) = 1, если есть, то r ( A ) ≥ 2. И т.д.

                 

k) Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор М _{k – 1} ≠ 0 до тех пор, пока не найдется минор М_k, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r ( A ) = k –1, если есть, то r ( A ) ≥ k и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шагу найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его только среди миноров М _{k – 1} ≠ 0 .

Примеры.

1. Найти ранг матрицы А = методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров.

• Т.к. у матрицы А есть ненулевые элементы, то r ( A ) ≥ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если

он существует). Таким минором является, например, М₂ = = 3 ≠ 0. Значит, r ( A ) ≥ 2.

Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие М₂: = = 0, = = 0.

Т.о., все миноры, окаймляющие М₂, равны нулю, следовательно, r ( A ) < 3. Итак, r ( A ) = 2.

Одним из базисных миноров является М₂ = .

2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

• 1) Выберем ненулевой минор М₁ = 1 порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.

2) Чтобы найти окаймляющий минор для М₁ , нужно к нему добавить по одной строке и одному столбцу. То есть минор второго порядка М₂, окаймляющий М₁ , должен содержать первую строку и первый столбец матрицы. Таких миноров несколько, выберем любой из них, не равный нулю. Например, М₂ = = –1, построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.

3. Далее ищем ненулевой минор третьего порядка М₃ , окаймляющий М₂ . Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам – 2-й столбец. Получим М₃ = = –1.

4. Пытаемся найти ненулевой окаймляющий минор для М₃. Для этого перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:

   1. на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:

= 1·(-1)¹⁺¹ + 2·(-1)¹⁺² + 1·(-1)¹⁺³ = … = 0 ,

2. на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:

= 1·(-1)¹⁺¹ + 2·(-1)¹⁺² + 2·(-1)¹⁺⁴ = … = 0 ,

Получается, что все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка М₃

ненулевой, поэтому ранг матрицы равен 3.

Задания для самоконтроля

1. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? равным 2,5? (Да, нет, нет).

2. Ранг матрицы А равен r. Что можно сказать о r ( 2A )? r (–A )? r (0A )? (r, r, 0).

1. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании? (Не изменяется).

2. Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? одного произвольного столбца? (Может увеличиться на 1).

3. Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одной строки? одного столбца?

(Может уменьшиться на 1).