3. Обратная матрица

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А^–1 такая, что

АА^–1 = А^–1А = Е.

Матрица А^–1 называется обратной к матрице А.

Покажем, что А^–1 – единственная обратная матрица. Пусть А° – еще одна обратная к А матрица, тогда

А^–1 А^–1Е = А^–1(АА°) = (А^–1А)А° = ЕА° = А°.

Вычисление обратной матрицы

Метод присоединенной матрицы:

Присоединенной матрицей к квадратной матрице А называется матрица Ã = ( A_ij )^T, полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений A_ij к элементам а_ij :

à = .

Справедливо равенство Ã А = А Ã = |A| · E: (n = 3 – меньше писать) .

Диагональные элементы произведения: a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + a_i3A_i3 = |A| – разложение определителя по i-ой строке ( i = 1, 2, 3).

Недиагональные элементы произведения: a_i1A_j1 + a_i2A_j2 + a_i3A_j3 = 0 ( i ≠ j) – свойство определителя.

Отсюда следует, что если А – невырожденная матрица, то (А^–1А Ã = А^–1 |A| · E => Ã = А^–1)

А^–1 = Ã .

Пример. Методом присоединенной матрицы найти А^–1, если А = .

• |A| = = 1·5·0 + 2·6·7 + 3·4·8 – 3·5·7 – 2·4·0 – 1·6·8 = 84 + 96 – 105 – 48 = 27.

А₁₁ = (–1)¹⁺¹ = 5·0 – 6·8 = –48; А₁₂ = (–1)¹⁺² = –(4·0 – 6·7) = 42; А₁₃ = (–1)¹⁺³ = 4·8 – 5·7 = –3;

А₂₁ = (–1)²⁺¹ = – (2·0 – 3·8) = 24; А₂₂ = (–1)²⁺² = 1·0 – 3·7 = –21; А₂₃ = (–1)²⁺³ = – (1·8 – 2·7)= 6;

А₃₁ = (–1)³⁺¹ = 2·6 – 3·5 = –3; А₃₂ = (–1)³⁺² = – (1·6 – 3·4) = 6; А₃₃ = (–1)³⁺³ = 1·5 – 2·4 = –3.

à = => А^–1 = à = = .

Проверка: А^–1 А = = ; АА^–1 = = .

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований):

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1. Перестановка местами двух строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки

(столбца), умноженных на некоторое число.

Приписываем справа к матрице А размера n x n единичную матрицу размера n x n: получим прямоугольную матрицу Г = ( А | E ) размера n xn. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала приведем ее к ступенчатому виду Г₁ = ( А₁ | В ), где матрица А₁ треугольная, а затем – к виду Г₂ = ( Е | А^–1 ), т.е. на месте единичной матрицы окажется обратная (к матрице А ) матрица А^–1.

Пример. Методом Гаусса найти матрицу, обратную к матрице А = .

• Г = (А|E) = ~ ~ ~

~ ~ => А^–1 = .

Проверка: А^–1 А = = ; АА^–1 = = .

Задания для самоконтроля

1. Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая матрица В, что ВА = Е? (Да).

2. Верно ли что матрица А^–1 имеет те же размеры, что и матрица А? (Да).

Примеры. Привести к ступенчатому виду матрицу с помощью элементарных преобразований над строками:

1) А = ; 2) А = .

• 1) А = ~ ~ ~ ~ .

2) A = ~ ~ ~ .