2. Матрицы

1. Основные обозначения

Прямоугольная таблица чисел а_ij, i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n, составленная из m строк и n столбцов и записанная в виде

А = или А =

называется матрицей. Кратко матрицу записывают так: А = (а_ij) или А = || а_ij ||. Здесь а_ij – элементы матрицы, причем индекс i в элементе означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Произведение числа строк m на число столбцов n называют размером матрицы и обозначают m х n. Если надо указать размер m х n матрицы А, то пишут А_{m х n} .

Пример. А = . Размерность 2х3. Элементы:

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m = n), называется квадратной. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. Матрица, у которой всего одна строка. называется матрицей-строкой, а матрица, у которой всего один столбец, – матрицей-столбцом. Две матрицы А_{m х n} = (а_ij) и B_{m х n} = (b_ij) называются равными, если они одинаковых размеров и имеют равные соответствующие элементы: а_ij = b_ij. Нулевой называется матрица, у которой все элементы равны нулю. Обозначается такая матрица буквой О. Как и в определителях, в квадратных матрицах выделяют главную и побочную диагонали.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме тех, которые находятся на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равняется единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид: Е = .

Примеры. Матрицы: – квадратная, – диагональная, – нулевая.

Любой квадратной матрице А = можно поставить в соответствие определенное число, которое называется определителем (детерминантом) этой матрицы. По определению

∆ = |A| = detA = .

Например, если А = , то detA = = –3.

Прямоугольная матрица размером m х n (m ≠ n) определителя не имеет.

Транспонированной к матрице А = (a_ij) называется матрица А^Т такая, что a_ij^Т = a_ji, т.е. все строки матрицы А^Т равны соответствующим столбцам матрицы А.

Пример. А = , А^Т = .

Квадратная матрица А называется симметричной, если А^Т = А. Квадратная матрица В называется кососимметричной, если В^Т = –В.

Ступенчатая матрица (на примерах):

– не ступенчатая. , – ступенчатые.

2. Действия над матрицами

1°. Операция сложения матриц вводится только матриц одинакового размера. Суммой С = А + В двух матриц А_{m х n} = (а_ij) и B_{m х n} = (b_ij) называется матрица С_{m х n} = (с_ij) = (а_ij + b_ij). Например,

+ = .

2°. Произведением матрицы А_{m х n} = (а_ij) на число k (или числа k на матрицу А_{m х n}) называется матрица B_{m х n} = (ka_ij). Например,

2 · = · 2 = .

3°. Разность матриц А – В определяется как сумма матрицы А и матрицы В, умноженной на –1:

А – В = А + (–1)В.

Справедливы такие особенности операций:

а) А + В = В + А – коммутативность относительно сложения матриц;

б) А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность относительно сложения матриц;

в) А + О = А; А – А = О – роль нулевой матрицы в действиях над матрицами такая же, как и числа нуль в действиях над числами;

г) α(βА) = (αβ)А – ассоциативность относительно умножения чисел;

д) α(А + В) = αА + αВ – дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц;

е) (α + β) А = αА + βА – дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел.

4°. Операция умножения двух матриц вводится только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если количество столбцов первой матрицы А равняется числу строк второй матрицы В.

Если это условие не выполняется, т.е. матрицы не согласованны, то умножение таких матриц невозможно.

Из согласованности матриц А и В не следует, вообще говоря, согласованность матриц В и А.

Квадратные матрицы одного порядка всегда согласованны.

Произведением АВ матриц А и В (размером mxn и nxr соответственно) называется матрица С размера mxr, такая что

c_{i j} = a_i1· b_1j + a_i2· b_2j + … + a_ik· b_kj + … + a_in· b_kn = , i = 1, 2, … , n.

Т.о. каждый элемент с_ij матрицы С равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Другими словами, чтобы найти элемент с_ij нужно умножить элементы i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом, если размеры матриц А и В mxn и nxr соответственно, то размер матрицы С будет mxr «съедается серединка»: ( [mxn]  [nxr] = [mxr] ).

Пример. Найти матрицу С = АВ, если: а) А = , В = ; б) А = , В = .

• а) Матрица А_2х2 согласована с матрицей В_2х3, поэтому по определению имеем

С = = .

б) АВ = А_2х1В_1х2 = С_2х2 = =

Из правила умножения матриц вытекает, что всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка. В частности, квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат; прямоугольную неквадратную матрицу возвести в квадрат нельзя.

В общем случае АВ  ВА. Например,  .

= ; =

Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими).

Свойства операции перемножения матриц

При условии, что указанные операции имеют смысл, справедливы равенства (доказывается непосредственно):

а) (АВ)С = А(ВС); б) (αА)В = А(αВ) = α(АВ); в) (А + В) С = АС + ВС; г) С (А + В) = СА + СВ;

д) А · О = О · А = О; е) АЕ = Е А = А; ж) |AB| = |A| · |B| .

Задания для самоконтроля

1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать? (нет)

2. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать? (нет)

3. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную? (да)

4. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей? (да)

5. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица? (да)

6. Могут ли совпадать матрицы А и А^Т? (да)

7. Как выглядит матрица (А^Т)^Т? (А)

8. Верно ли равенство (А + В)^Т = А^Т + В^Т? (да)

9. Верно ли равенство (А + Е) (А – Е) = А² – Е? (да)

10. Привести пример двух таких матриц, что определитель их суммы равен сумме их определителей. (Одна из матриц нулевая).