2. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пусть задан определитель 3-го порядка

∆ = . (3)

Минором M_ij элемента а_ij определителя называется определитель, который получается из данного в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, для определителя (3) минорами элементов а₂₃ и а₃₂ являются определители М₂₃ = ; М₃₂ = .

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком (–1)^i+j , т.е.

А_ij = (–1)^i+j M_ij . (4)

Например, если ∆ = , то А₂₁ = (–1)²⁺¹ = –5.

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их

алгебраические дополнения.

Доказательство. Покажем, что для определителя (3) выполняются равенства:

∆ = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃; ∆ = а₁₁ А₁₁ + а₂₁ А₂₁ + а₃₁ А₃₁;

∆ = а₂₁ А₂₁ + а₂₂ А₂₂ + а₂₃ А₂₃; ∆ = а₁₂ А₁₂ + а₂₂ А₂₂ + а₃₂ А₃₂; (5)

∆ = а₃₁ А₃₁ + а₃₂ А₃₂ + а₃₃ А₃₃; ∆ = а₁₃ А₁₃ + а₂₃ А₂₃ + а₃₃ А₃₃.

Докажем, к примеру, первое из них. Раскроем определитель (3) по формуле (2) и группируя произведения, которые содержат элементы первой строки, получим

∆ = а₁₁ (а₂₂а₃₃ – а₃₂а₂₃) + а₁₂ (а₂₃а₃₁ – а₂₁а₃₃) + а₁₃ (а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁).

Выражения в скобках, согласно формулам (4), являются алгебраическими дополнениями А₁₁, А₁₂ , А₁₃, поэтому ∆ = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃.

Аналогично доказываются и другие равенства (5).

Запись определителя по какой-либо из формул (5) называется разложением определителя по элементам соответствующей строки или столбца.

Пример. Вычислить определитель ∆ = , раскладывая его по элементам третьей строки.

• По третьей из формул (5) имеем: ∆ = 3 · (–1)³⁺¹ + (–1) · (–1)³⁺² + 4 · (–1)³⁺³ = 9.

Тот же результат дает формула (2).

Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Доказательство. Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки определителя (3) на алгебраические дополнения элементов второй строки: а₁₁ А₂₁ + а₁₂ А₂₂ + а₁₃ А₂₃ =

= – а₁₁ + а₁₂ – а₁₃ = – а₁₁ (а₁₂а₃₃ – а₁₃а₃₂) + а₁₂ (а₁₁а₃₃ – а₁₃а₃₁) – а₁₃ (а₁₁а₃₂ – а₁₂а₃₁) =

= – а₁₁ а₁₂а₃₃ + а₁₁а₁₃а₃₂ + а₁₂а₁₁а₃₃ – а₁₂а₁₃а₃₁ – а₁₃ а₁₁а₃₂ + а₁₃а₁₂а₃₁) = 0.

1.3. Понятие об определителях высших порядков

Теорема 1 дает возможность ввести определение определителя произвольного порядка. По определению определитель n-го порядка равняется сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Можно доказать, что все рассмотренные выше свойства определителей 3-го порядка справедливы для определителей произвольного порядка.

Рассмотрим, например, определитель 4-го порядка

∆ = .

Этот определитель можно разложить по элементам какой-либо строки, например первого:

∆ = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃ + а₁₄ А₁₄ . (6)

Т.к. все алгебраические дополнения А_ij в формуле (6) являются определителями 3-го порядка, то этой формулой можно пользоваться для вычисления определителя 4-го порядка. Но такой способ вычисления громоздкий: если для нахождения определителя 4-го порядка необходимо вычислить четыре определителя 3-го порядка, то для нахождения определителя 5-го порядка уже придется вычислять двадцать определителей 3-го порядка. Поэтому на практике сначала с помощью свойства 8° преобразуют определитель так, чтобы в некоторой строке или столбце все элементы, кроме одного, стали нулями. Раскладывая такой определитель в соответствии с теоремой 1 по элементам этой строки (столбца), получим только одно слагаемое, т.к. все остальные слагаемые являются произведениями алгебраических дополнений на нуль.

Пример. Вычислить определители 1) ∆₁ = ; 2) ∆₂ = .

• 1) В первой строке преобразуем все элементы, кроме первого, в нули. Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменений, к третьему добавим первый, а к четвертому – первый, умноженный на (–2). Тогда

∆₁ = .

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

∆₁ = 1 · (–1)¹⁺¹ = –21.

2) В первом столбце преобразуем все элементы, кроме второго, в нули. Для этого, оставляя вторую строку без изменений, к первой строке добавим вторую, умноженную на (–2), к третьей – первую, к четвертой – первую, умноженную на (–2), а к пятой – четвертую, умноженную на (–2). Тогда получим:

∆₂ = .

Разложим этот определитель по элементам первого столбца и вынесем за знак определителя общий множитель 2 из третьей строки и (–1) – из четвертой:

∆₂ = 1 · (–1)²⁺¹ · 2 · (–1) = 2 .

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

∆₂ = 2 · (–1)¹⁺⁴ = –2 = 150.

Задания для самоконтроля

1. Что называется определителем 2-го порядка?

2. Может ли быть определитель3-го порядка не числом?

3. Сформулировать основные свойства определителей.

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

5. Сформулировать и доказать теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца).

6. Чему равняется сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца)?

7. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

8. Решить уравнения: а) = 0; б) = 0.

9. Решить неравенства: а) ≤ 0; б) < 1.

10. Может ли определитель 2-го порядка принимать значение большее, чем определитель 5-го порядка?

11. Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую – на место второй, вторую – на место третьей, третью – на место первой?

Ответы. 7. а) 11; б) –1; в) sin(α+β) sin(α–β); г) 3; д) –10; е) –218.

8. а) 2, 3; б) 0, 2. 9. а) [0; 1]; б) (0; ). 10. Да. 11. Не изменится.