4. Кривые второго порядка

Уравнение второго порядка вида x² + 2 xy + y² + 2 x + 2 y + = 0 определяет на плоскости кривую. Группа членов B = x² + 2 xy + y² называется квадратичной формой,

L = 2 x + 2 y – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы. Матрица B = называется матрицей квадратичной формы. Здесь = . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда

B = , где λ₁ и λ₂ – собственные числа матрицы B. В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид:

λ₁ + λ₂ .

Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы. Канонический вид кривой второго порядка: λ₁ + λ₂ = a, причем: а) если λ₁ > 0, λ₂ > 0 – эллипс, в частности, при λ₁ = λ₂ это окружность; б) если λ₁ > 0, λ₂ < 0 (λ₁ < 0, λ₂ > 0) имеем гиперболу; в) если λ₁ = 0 либо λ₂ = 0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид

λ₁ = ax₁ + by₁ + c (здесь λ₂ = 0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ₁ = ax₂ + by₂ .

Начало формы

Конец формы

Примеры. 1. Дано уравнение кривой 3x² + 10xy + 3y² – 2x – 14y – 13 = 0 в системе координат (О, i, j), где О(0,0) – начало координат, i = {1, 0}, j = {0, 1}. 1). Определить тип кривой. 2). Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3). Найти соответствующие преобразования координат.

• Приводим квадратичную форму B = 3x² + 10xy + 3y² к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы B = . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: . Характеристическое уравнение = λ² − 6λ −16 = 0 имеет корни: λ₁ = –2, λ₂ = 8. Вид квадратичной формы: –2 + 8 . Т.о., исходное уравнение определяет гиперболу. Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8 – 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола. Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ₁ = –2: => x₁ + y₁ = 0.

Собственный вектор, отвечающий числу λ = –2 при x₁ = 1: x₁= {1, –1} . В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор i₁ = , где – длина вектора x₁. Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ = 8, находим из системы => x₁ – y₁ = 0 => x₂= {1, 1}, j₁ = Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i₁, j₁) . По формулам x = Sy переходим к новому базису: = или

x = x₁ + y₁ , y = – x₁ + y₁ . (*)

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: –2 + 8 + x₁ – y₁ = 13

• Выделяем полные квадраты: –2 + 8 = 8 .

х₂ = x₁ – , у₂ = у₁ – . Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , х₂ = x₁ – , у₂ = у₁ – . (**) Из соотношений (*) и (**) получаем:

х₂ = , у₂ = .

В системе координат ( О^*, i₁, j₁) данное уравнение имеет вид: – + = 1 . Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x₂ = 0 задается в старой системе

координат уравнением x – y – 3 = 0, а ось y₂ = 0 уравнением x + y – 1 = 0. Начало новой системы координат

О^*(2, –1) является точкой пересечения этих прямых.

Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:

1. Переход к системе координат с осями x₂ = 0, y₂ = 0, заданными в старой системе координат уравнениями

x – y – 3 = 0 и x + y – 1= 0 соответственно. 2. Построение в полученной системе координат графика функции.

2. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка 9х² – 4ху + 6у² + 16х – 8у – 2 = 0,

определить ее тип и найти каноническую систему координат.

• Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна . Ее собственные числа

(9 – λ) (6 – λ) – 4 = 0 => λ² – 15λ + 50 = 0 => λ₁ = 5, λ₂ = 10; собственные векторы:

λ₁ = 5: => е₁ = . λ ₂ = 10: => е₂ = .

Выполняя преобразования

х = (х´ – 2у´ ) , у = (2х´ + у´ ),

получаем

5 + 10 – у´ – 2 = 0.

Т.к. λ₁ и λ₂ отличны от нуля, то по каждой из новых переименованных х´ и у´ можно выделить полный

квадрат:

по х´ полный квадрат уже есть (преобразование сдвига делать не нужно);

по у´ : 10 – у´ = 10 – 8.

Заменой переменных = х´, = у´– , соответствующий сдвигу по оси Оу , получим

5 + 10 – 10 = 0 или + = 1.

Данное уравнение есть каноническое уравнение эллипса . Результирующее преобразование координат имеет

вид

х = ( – 2( + )) = ( – 2 ) – , у = (2 + ( + )) х = (2 + ) + ,

а каноническая система координат (О´, е₁, е₂ ), где О´(– , ), е₁ = i + j , е₂ = – i + j .

44