4. Ортогональные и симметрические матрицы

Матрица А^Т, столбцами которой являются строки матрицы А, называется транспонированной к А.

Свойства операции транспонирования матриц

1. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;

2. (А В)^Т = В^Т А^Т;

3. (kА)^Т = kА^Т;

4. (А ^–1)^Т = (А^Т) ^–1,

где k – число, А и В – матрицы.

Матрица А называется симметрической, если А = А^Т.

Ортогональной называется матрица А, для которой А^Т = А ^–1.

Следующие три условия равносильны:

1. матрица А ортогональна;

2. матрица А ^–1 ортогональна;

3. столбцы матрицы А образуют ортонормированную систему векторов.

Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений.

Симметрическая матрица всегда имеет действительные собственные значения, и все ее собственные значения – действительные числа. Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Для каждой симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Q, что Q ^–1А Q – диагональная матрица. Построение этой ортогональной матрицы осуществляется следующим образом:

1. строим невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

2. подвергаем столбцы найденной матрицы Т процессу ортогонализации Шмидта, а затем нормируем полученные векторы;

3. строим ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной в п.2 ортонормированной системы векторов.

Пример. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы симметрическую

матрицу А = .

• Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид: | A – λE | =

= = (5 – λ) (5 – λ) = (5 – λ) (1 + λ)

(5 – λ) (1 + λ) = (5 – λ) (1 + λ)² = 0.

Отсюда следует, что матрица А имеет два собственных значения: λ₁ = –1, λ₂ = 5.

Фундаментальная система решений системы уравнений (A + E) х = θ состоит из двух векторов:

и , а система уравнений (A – 5 E) х = θ – из одного вектора (вычисления провести самостоятельно).

Матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, имеет вид Т = .

После ортогонализации и нормирования столбцов этой матрицы получим ортогональную матрицу

Q = . Матрица, обратная к Q, совпадает с Q ^Т, т.е., Q ^–1 = .

Нетрудно проверить, что Q ^–1А Q = .

4. Квадратичные формы

Переход от системы n неизвестных х₁, х₂, … , х_n к системе n неизвестных у₁, у₂, … , у_n по

формуле x = Sy, где х = { х₁, х₂, … , х_n}, у = { у₁, у₂, … , у_n}, S – квадратная матрица порядка n, называется линейным преобразованием неизвестных. Если S – невырожденная матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Квадратичной формой F(х₁, х₂, … , х_n) от n неизвестных х₁, х₂, … , х_n называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных

F(х) = . (1)

Квадратичную форму можно записать в виде F(х) = х А х, где х = { х₁, х₂, … , х_n},

А – симметрическая матрица порядка n, которая называется матрицей квадратичной формы F(х).

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования.

Если в квадратичной форме F(х) = х А х неизвестные подвергнуть линейному преобразованию

x = Sy, то получится квадратичная форма F(у) = у( S^TА S )y с матрицей S^TА S.

Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквивалентная ей форма, не содержащая произведений неизвестных. Каждую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейного преобразования неизвестных x = Sy с ортогональной матрицей S. Столбцами матрицы S  являются координаты некоторого ортонормированного базиса B^н =(e₁ ,..., e_n),  в котором матрица A  имеет диагональный вид D = S ^TА S. D −  диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы.

Пример. Написать матрицу квадратичной формы F = 2 – 5 + 8 + 4x₁x₂ – 2x₁x₃ + 6x₂x₃ .

• Обозначим коэффициент при произведении x_i x_k = x_k x_i (i ≠ k) через а_ik + а_ki, причем а_ik = а_ki. Член (а_ik + а_ki) x_i x_k запишем в виде а_ik x_i x_k + а_ki x_k x_i . Тогда квадратичную форму F можно записать в виде

F = 2 + 2x₁x₂ – x₁x₃ +

+ 2x₂x₁ – 5 + 3x₂x₃ –

– x₃x₁ + 3x₃x₂ + 8 .

Теперь матрица А квадратичной формы имеет вид: A = .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа выделения полных квадратов

Пусть квадратичная форма F(х) = хА х в базисе В имеет вид (1). Если все коэффициенты a_ii (при квадратах ), i = 1, 2, … , n, равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2a₁₂ х₁ х₂. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами

х₁ = х₁´ + х₂´,

х₂ = х₁´ – х₂´ ,

х_i = х _i´, i = 3, 4, … , n,

Тогда 2a₁₂ х₁ х₂ = 2a₁₂ ( – ) = 2a₁₂ – 2a₁₂ . Здесь уже коэффициенты при и отличны от нуля.

Таким образом, всегда найдется такой базис В, в котором в записи (1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.

В дальнейшем считаем, что a₁₁ ≠ 0. (Если a₁₁ = 0, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и к рассматриваемому случаю можно прийти иначе занумеровав векторы

е₁, е₂, … , е_n, что также является некоторым преобразованием базиса.)

Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую х₁, т.е. σ₁ = a₁₁ + 2a₁₂ х₁ х₂ + … + 2a_1n х₁ х_n.

Дополняем эту сумму до полного квадрата: σ₁ = (a₁₁ х₁ + … + a_1n х_n)² – γ, где γ есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от х₁.

Если теперь сделать замену х₁´ = a₁₁ х₁ + … + a_1n х_n ,

х _i´ = х_i, i = 2, 4, … , n,

то квадратичная форма в новом базисе примет вид F(х´) = + = + F₁(х´).

В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся часть F₁(х´) является квадратичной формой, содержащей n – 1 переменных. Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы F₁(х´), и т.д.

Примеры. 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

F = + 2 + 7 + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 4x₂x₃ .

• Сгруппируем все члены, содержащие неизвестные х₁, и дополним их до полного квадрата:

F = ( + 2x₁x₂ + 2x₁x₃) + 2 + 7 + 4x₂x₃ = ( + 2x₁(x₂ + x₃) + (x₂ + x₃)²) – (x₂ + x₃)² + 2 + 7 + 4x₂x₃ =

= (x₁ + x₂ + x₃)² + + 6 + 2x₂x₃ .

В дальнейшем полный квадрат, содержащий неизвестное х₁, не изменится. Среди оставшихся членов

сгруппируем все, содержащие х₂, и дополним их до полного квадрата:

F = (x₁ + x₂ + x₃)² + ( + 2x₂x₃ + ) – + 6 = (x₁ + x₂ + x₃)² + (x₂ + x₃)² + 5 .

Теперь перейдем от неизвестных х₁, х₂, х₃ к неизвестным у₁, у₂, у₃ по формулам

В результате этого перехода получим канонический вид данной квадратичной формы:

F = + + 5 .

2. Привести к каноническому виду квадратичную форму F = 2х₁х₂ + 4х₁х₃ – – 8 .

• Здесь коэффициенты при х₂ и х₃ не равны нулю. Сгруппируем все члены, содержащие х₂, и дополним их до полного квадрата: F = –( – 2х₁х₂ + ) + + 4х₁х₃ – 8 = –( х₂ – х₁)² + + 4х₁х₃ – 8 .

Далее, то же самое делаем с х₁: F = –( х₂ – х₁)² + + 4х₁х₃ + 4 – 12 = –( х₂ – х₁)² + ( х₁ + 2х₃)² – 12 .

Теперь перейдем от неизвестны х₁, х₂, х₃ к неизвестным х₁´ , х₂´ , х₃´ по формулам:

х₁´ = –х₁ + х₂,

х₂´ = х₁ + 2х₃ ,

х₃´ = х₃ .

В результате перехода получим канонический вид данной квадратичной формы: F = – + – 12 .

3. Привести к каноническому виду квадратичную форму F = х₁х₂ + х₂х₃ + х₁х₃.

• Здесь все коэффициенты при х₁, х₂, х₃ равны нулю. Сделаем преобразование , и получим:

F = х₁х₂ + х₂х₃ + х₁х₃ = (х₁´ + х₂´ ) (х₁´ – х₂´ ) + (х₁´ – х₂´ ) х₃´ + (х₁´ + х₂´ ) х₃´ = – + 2х₁´ х₃´.

Далее поступаем как в предыдущих примерах. Сгруппируем все члены, содержащие х₁´, и дополним их до полного квадрата: F = ( + 2х₁´ х₃´ + ) – – = (х₁´ + х₂´ )² – – . Сделаем очередное преобразование , которое и приводит квадратичную форму к каноническому виду F = – – .

Из двух преобразований получим окончательное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду: .

Метод собственных векторов

Будем рассматривать квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве Rⁿ. Т.к. ее матрица А = (a_ij) симметрична, то она может быть представлена в виде А = U D U ^T, где D – диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а U – ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса В = (е₁, е₂, … , е_n), в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма – искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением

= U .

Примеры.

1. Найти преобразование, приводящее квадратичную форму F = 6 + 5 + 7 – 4х₁х₂ + 4х₁х₃ ,

заданную в евклидовом пространстве R³, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

• Матрица квадратичной формы имеет вид A = . Обратить внимание, как получаются элементы a_ij (i ≠ j) из явного вида квадратичной формы! Собственные числа этой матрицы λ₁ = 3, λ₂ = 6, λ₃ = 9. Соответствующие ортонормированные собственные векторы:

е₁´ = (2/3, 2/3, –1/3), е₂´ = (–1/3, 2/3, 2/3), е₃´ = (2/3, –1/3, 2/3),

и, следовательно, U = , U ^T = . В базисе В´ = (е₁´, е₂´, е₃´) заданная квадратичная форма имеет вид F₁(х´) = 3 + 6 + 9 , а соответствующее преобразование координат:

х₁ = (2х₁´– х₂´+ 2х₃´ ), х₂ = (2х₁´+ 2х₂´ – х₃´ ), х₂ = (–х₁´+ 2х₂´ + 2х₃´ ).

2. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма F = 3 + 3 + 4x₁ x₂ + 4x₁ x₃ – 2x₂ x₃

посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования.

• Матрица квадратичной формы A = . Коэффициентами квадратичной формы в каноническом виде являются собственные значения матрицы А. Характеристическое уравнение: λ³ – 6 λ² + 32 = 0. Отсюда λ₁ = –2, λ_2,3 = 4. Канонический вид квадратичной формы: –2 + 4 + 4 .

3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму + + + 4x₁ x₂ + 4x₁ x₃ + 4x₂ x₃

к каноническому виду, и написать этот канонический вид.

• Матрица квадратичной формы A = . Характеристическое уравнение: λ³ – 3 λ² – 9 λ – 5 = 0. Отсюда λ₁ = 5, λ_2,3 = – 1. Канонический вид

квадратичной формы: 5 – – . Новым базисом является собственный ортонормированный базис матрицы А.

Найдем его.

λ = 5: Отсюда x₁ = x₂ = x₃ и нормированный собственный вектор есть е₁ = .

λ = – 1: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 0. Отсюда x₁ = –x₂ – x₃, x = (–x₂ – x₃, x₂, x₃) = x₂(-1, 1, 0) + x₃(-1, 0, 1). Собственные векторы = (-1, 1, 0) и = (-1, 0, 1) ортогональны вектору е₁, т. к. векторы е₁ и , принадлежат различным собственным значениям. Система векторов , линейно независима, но не является ортонормированной. Пользуясь методом Шмидта, получим из нее ортонормированную систему.

Имеем е₂ = = . Вектор е ₃, ортогональный вектору е₂, ищем в виде е₃ = – α е₂ , α – искомое число. Из условия (е₃, е ₂) = 0 получим

α = ( , е₂) = . Тогда е₃ = (-1, 0, 1) – . Нормируя вектор е₃, получим = . Т.о., ортонормированный базис оператора А: е₁ = , е₂ = , = . Матрица перехода от заданного базиса к базису е₁ , е₂, С = .

Учитывая, что Х = С Y (Х и Y – матрицы – столбцы координат вектора х в старом и новом базисах соответственно), получим

x₁ = y₁ – y₂ – y₃ ,

x₂ = y₁ + y₂ – y₃ ,

x₃= y₁ + y₃ .

Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма

Квадратичная форма F(х) = хА х, определенная в евклидовом пространстве Rⁿ , называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого х Rⁿ (х ≠ θ) хА х > 0 (< 0).

Пусть А = (a_ij) – матрица квадратичной формы F(х) = хА х и

D₁ = a₁₁, D₂ = , … , D_n = –

последовательность главных миноров матрицы А.

Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, если в каком-нибудь ее каноническом виде нет отрицательных (положительных) коэффициентов при квадратах неизвестных.

Следующие условия равносильны:

1. квадратичная форма F(х) = х А х положительно определена;

2. собственные значения матрицы А положительны;

3. угловые миноры матрицы А положительны.

Следующие условия равносильны:

1. квадратичная форма F(х) = х А х отрицательно определена;

2. собственные значения матрицы А отрицательны;

3. все угловые миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны, а все угловые миноры четного порядка положительны.

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение

(критерий Сильвестра): для того, чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определенной,

необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были

положительны, т.е. D_k > 0, k = 1, 2, … , n.

Примеры.

1. Определить, является ли квадратичная форма + 26 + 10x₁ x₂ положительно или отрицательно

определенной.

• Матрица квадратичной формы A = .

Главные миноры: D₁ = 1 > 0, D₂ = = 26 – 25 = 1 > 0.

Т.о., квадратичная форма + 26 + 10x₁ x₂ положительно определена.

2. Определить, является ли квадратичная форма 12x₁ x₂ – 12x₁ x₃ + 6x₂ x₂ –11 – 6 – 6

положительно определенной.

• Матрица квадратичной формы A = .

Главные миноры: D₁ = –11 < 0. Дальше нет смысла проверять: квадратичная форма не является

положительно определенной.