4. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть число λ и вектор х L, x ≠ θ , таковы, что

Ах = λх. (1)

Тогда число λ называется собственным числом (значением) матрицы А, а вектор х –

собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному числу λ.

Векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству

(А – λЕ) Х = θ, Х ≠ θ. (2)

Для того, чтобы данная однородная система имела ненулевое решение, ее определитель должен равняться нулю. Отсюда следует, что число λ есть собственное число матрицы А в том и только том случае, когда | А – λЕ | = 0, т.е. λ есть корень многочлена Р(λ) = | А – λЕ |, называемого характеристическим многочленом матрицы А. Столбец координат Х любого собственного вектора, соответствующего

собственному числу λ, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (2).

Задачи.

1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Р = .

• Характеристическое уравнение | P – λЕ | = = –λ (1 – λ)² = 0, откуда λ₁ = 1 и λ₂ = 0 –

собственные числа оператора.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному числу λ₁ = 1. При λ = 1 система (2)

принимает вид: (Р – Е)Х = = .

Фундаментальная система решений этой однородной системы уравнений Е₁ = , Е₂ = ,

а общее решение αE₁ + βЕ₂ = .

Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собственному числу λ₁ = 1, имеют вид х₁ = αi + βj, где α и β – произвольные числа, не равные одновременно нулю.

Аналогично рассматривается случай λ₂ = 0. При этом получим х₂ = γk, где γ – произвольное число, отличное от нуля.

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

• 1. Характеристическое уравнение имеет вид = 0, или λ³ – 6λ² + 11λ – 6 = 0. Отсюда λ₁ = 1, λ₂ = 2, λ₃ = 3.

2. Находим собственные векторы, соответствующие λ = 1. Система (2) имеет вид

Решая ее, получим x₁ = x₂ = x₃. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 1, имеют вид х = α (1,1,1), где α ≠ 0 – произвольная константа.

Далее рассматриваем случай λ = 2:

Решая ее, получим x₁ = x_3; x₂ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2, имеют вид х = β (1,0,1), где β ≠ 0 – произвольная константа.

Случай λ = 3:

Решая ее, получим x₁ = x_2; x₃ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 3, имеют вид х = γ(1,1,0), где γ ≠ 0 – произвольная константа.