4. Ортогональные системы векторов

Два векторов называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система

векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Процессом ортогонализации системы векторов a₁, a₂, … , a_m , a_{m +1} называется построение системы векторов b₁, b₂, … , b_m , b_{m +1} по следующим формулам (процесс ортогонализации Шмидта):

b₁ = a₁,

b₂ = a₂ – b₁,

b₃ = a₃ – b₁ – b₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b_{m +1} = a_{m +1} – b₁ – b₂ – … – b_m .

Справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов b₁, b₂, … , b_m , b_{m +1} является ортогональной. Например, проверим

ортогональность векторов b₁ и b₂: (b₁, b₂) = (a₁, a₂ – b₁) = (a₁, a₂) – (a₁, a₁) = (a₁, a₂) – (a₁, a₂) = 0.

2. Если векторы a₁, a₂, … , a_m , a_{m +1} линейно независимы, то b₁, b₂, … , b_m , b_{m +1} – ортогональная

система ненулевых векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и все векторы системы

имеют единичную длину.

Пример. Построить ортонормированную систему векторов : a₁ = {2,0,1,1}, a₂ = {1,2,0,1}, a₃ = {0,1,-2,0}.

• Сначала строим ортогональную систему векторов. Положим b₁ = a₁ . Затем строим векторы b₂ и b₃:

b₂ = a₂ – b₁ = {1,2,0,1} – · {2,0,1,1} = {1,2,0,1} – · {2,0,1,1} = {0,2,-½,½}.

b₃ = a₃ – b₁ – b₂ = a₃ + b₁ – b₂ = {0,1,-2,0} + { ,0, , } – {0, , - , } = { ,- , - ,0}.

Т.о., векторы b₁ = {2, 0, 1, 1}, b₂ = {0, 2, -½, ½}, b₃ = { ,- , - ,0} являются результатом

ортогонализации исходной системы векторов.

Нормируем векторы b₁, b₂ , b₃ :

|b₁| = = => = { ,0, , },

|b₂| = = => = {0, , - , },

|b₃| = = => = { , - ,- ,0}.

Векторы = { ,0, , }, = {0, , - , }, = { , - ,- ,0} являются

ортонормированной системой векторов.

4. Преобразование координат при переходе от одного базиса к другому

При переходе от одного базиса В ={a₁, a₂, , … , a_n} к другому базису В* ={ , , , … , }

изменяются координаты вектора . Пусть х = (х₁, х₂, , … , х_n)_В = ( , , , … , )_В*.

Каждый из векторов базиса В* разложим по базису В: = t_1i a₁ + t_2i a₂ + … + t_ni a_n , i = 1, 2, … , n.

Матрицей перехода Т_В→В* от базиса В к базису В* называется матрица Т_В→В* = ,

i-й столбец которой есть столбец координат вектора в базисе В. Если Х и Х´ – столбцы координат вектора х в базисах В и В* соответственно, то имеет место равенство

Х´ = (Т_В→В*)^–1 Х

(формула преобразования координат при преобразовании базиса).

Пример.

1. Найти координаты геометрического вектора x = –i + 2j + k в базисе В*, состоящем из векторов

e´₁ = i + j , e´₂ = j + k, e´₃ = i + k.

• Выпишем координаты векторов e´₁, e´₂, e´₃ в исходном базисе В (i , j, k):

Е´₁ = , Е´₂ = , Е´₃ = .

Отсюда матрица перехода Т_В→В* имеет вид Т_В→В* = .

Обращая матрицу Т_В→В* и используя формулу Х´ = (Т_В→В*)^–1 Х , находим

Х´ = (Т_В→В*)^–1Х = = , т.е. х = 2e´₂ – e´₃ .