2. Линейная зависимость

Система векторов a₁, a₂, … , a_n называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа

k₁, k₂, … , k_n , не все равные нулю, что k₁·a₁ + k₂·a₂ + … + k_n·a_n = θ , где θ = {0, 0, …, 0}.

Система векторов a₁, a₂, … , a_n называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида

k₁·a₁ + k₂·a₂ + … + k_n·a_n = θ следует

k₁ = k₂ = … = k_n = 0.

Система векторов a₁, a₂, … , a_n линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений

a₁ х₁ + a₂ х₂ + … + a_n х_n = θ имеет ненулевое решение. Система векторов a₁, a₂, … , a_n линейно независима тогда и только тогда, когда система уравнений a₁ х₁ + a₂ х₂ + … + a_n х_n = θ имеет только нулевое решение.

Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если система векторов содержит нулевой вектор θ, то она линейно зависима.

Примеры. а) Выяснить, является ли системе векторов a₁ = {3,5,1,4}, a₂ = {-2,1,-5,-7}, a₃ = {-1,-2,0,-1}

линейно зависимой или линейно независимой.

• Найдем общее решение системы уравнений a₁ х₁ + a₂ х₂ + a₃ х₃ = θ методом Гаусса. Эта система однородная. Столбец свободных членов состоит только из нулей и не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать:

=> ~ ~ ~

• ~ ~ => . Система имеет ненулевые решения,

например, x₁ = 5, x₂ = 1, x₃ = 13. Следовательно, система векторов a₁, a₂, a₃ линейно зависима.

б) Выяснить, является ли системе векторов a₁ = {-20,-15,-4}, a₂ = {-7,-2,-4}, a₃ = {3,-1,-2}

линейно зависимой или линейно независимой.

• Найдем общее решение системы уравнений a₁ х₁ + a₂ х₂ + a₃ х₃ = θ методом Гаусса:

=> ~ ~ ~

~ ~ => . r(A) = r(A|B) = n (= 3) => система имеет единственное решение. Для однородной системы это нулевое (тривиальное) решение: x₁ = x₂ = x₃ = 0.

Таким образом, система векторов a₁, a₂, a₃ линейно независима.

4.3. Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1. эта часть является линейно независимой системой векторов;

2. каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы единственным образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.

Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом.

Вектор b тогда и только тогда разлагается по системе векторов a₁, a₂, … , a_m , когда ранги систем

a₁, a₂, … , a_m и a₁, a₂, … , a_m , b равны.

Диагональная система векторов

e₁ = {1, 0, …, 0},

e₂ = {0, 1, …, 0},

…………………

e_n = {0, 0, …, 1}

является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части. Действительно, каждый вектор

а ={k₁, k₂, … , k_n }, очевидно, разлагаются по этому базису: а = k₁·е₁ + k₂·е₂ + … + k_n·е_n .

При n = 2: e₁ = {1, 0} = i, e₂ = {0, 1} = j; при n = 3: e₁ = {1, 0, 0} = i, e₂ = {0, 1, 0} = j, e₃ = {0, 0, 1} = k.

Пример. Найти базис системы векторов a₁ = {5,2,-3,1}, a₂ = {4,1,-2,3}, a₃ = {1,1,-1,-2}, a₄ = {3,4,-1,2},

a₅ = {13,8,-7,4} и векторы, не входящие в базис, разложить по базису.

• Рассмотрим систему линейных уравнений a₁ х₁ + a₂ х₂ + a₃ х₃ + a₄ х₄ + a₅ х₅ = θ и методом Гаусса найдем разрешенную систему уравнений:

=> ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ => Разрешенная система, равносильная исходной , имеет вид или a₁´ х₁ + a₂´х₂ + a₃´х₃ + a₄´х₄ + a₅´х₅ = θ, где

a₁´ = , a₂´ = , a₃´ = , a₄´ = , a₅´ = .

Векторы a₁´, a₂´, a₄´ образуют диагональную систему. Следовательно, векторы a₁, a₂, a₄ – базис системы векторов a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ .

Разложим теперь векторы a₃ и a₅ по базису a₁, a₂, a₄ . Для этого сначала разложим соответствующие векторы a₃´ и a₅´ по диагональной системе a₁´, a₂´, a₄´, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты:

a₃´ = a₁´ – a₂´ + 0·a₄´, a₅´ = 2a₁´ + 0·a₂´ + a₄´.

Векторы a₃ и a₅ разлагаются по базису a₁, a₂, a₄ с теми же коэффициентами, что и векторы a₃´ и a₅´ по диагональной системе a₁´, a₂´, a₄´:

a₃ = a₁ – a₂ + 0·a₄, a₅ = 2a₁ + 0·a₂ + a₄.