Геометрический смысл линейной системы трех уравнений с тремя неизвестными
Рассмотрим систему
Каждое уравнение этой системы геометрически изображает плоскость в трехмерном пространстве. Возможны случаи.
А. Система совместна: Rang A = Rang A|B. а) Rang A = Rang A|B = 3. Плоскости пересекаются в единственной точке. б) Rang A = Rang A|B = 2. Три плоскости пересекаются по одной прямой. в) Rang A = Rang A|B = 1. Три уравнения системы определяют одну и ту же плоскость.
Б. Система несовместна: Rang A < Rang A|B. а) Rang A = 2, Rang A|B = 3. Три плоскости пересекаются либо по двум, либо по трем различным
параллельным прямым. б) Rang A =1, Rang A|B = 2. Плоскости параллельны и две из них могут совпадать.
Задача. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х – у + 3z – 1 = 0, x + 2y – z + b = 0, x + ay – 6z + 10 = 0
а) имеют общую точку; б) проходят через одну прямую;
в) пересекаются по трем различным параллельным прямым.
• Запишем уравнения данных плоскостей в виде неоднородной системы
а) Плоскости имеют одну общую точку
тогда и только тогда, когда определитель
системы Δ отличен от нуля. Так
как Δ = 5а – 35, то при
а ≠ 7 и любом b
три данные плоскости имеют одну общую
точку.
б), в) Вычислим Rang
A и Rang
A|B
при а = 7:
Rang A = Rang A|B при условии, что 3(–b + 10) = 21, т.е. b = 3. Отсюда при а = 7 и b = 3 три данные плоскости проходят через одну прямую и при а = 7, b ≠ 3 плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым (среди данных плоскостей нет параллельных).
4. Системы векторов
4.1. Разложение вектора по системе векторов
Вектор b разлагается по системе векторов a1, a2, … , an , если найдутся такие числа k1, k2, … , kn , что b = k1·a1 + k2·a2 + … + kn·an .
Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a1, a2, … , an , достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений
a1 х1 + a2 х2 + … + an хn = b ,
где
a1
=
,
a2
=
,
a3
=
,
… , an
=
,
b
=
,
Примеры. а) Выяснить, разлагается ли вектор b = {2,7,17,0} по системе векторов
a1 = {2,4,3,0}, a2 = {-3,0,1,3}, a3 = {1,-1,10,-3}.
• b = k1·a1 + k2·a2 + k3·a3. k1, k2 , k3 = ?
=>
=
=>
~
~
~
~
~
~
=>
r(A)
= r(A|B)
= n
= 3 =>
система совместна (имеет решение):
=> k3
= 1, k2
= 1, k1
= 2 => b
= 2a1
+ a2
+ a3.
б) Найти все значения t, при которых вектор b = {3,5, t} разлагается по системе векторов
a1 = {2,4,3}, a2 = {1,6,5}, a3 = {1,5,4}.
• b
= k1·a1
+ k2·a2
+ k3·a3.
=>
=
=>
~
~
=> для того, чтобы вектор b разлагался по системе векторов a1, a2 , a3 должно выполняться:
r(A) = r(A|B), т.е., система д.б. совместна (иметь решение), что выполняется при любом t.