Линейная алгебра (Лекции)

1. Определители

1. Определители 2-го и 3-го порядков

Число, записываемое в виде выражения

∆ = и равное а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁, (1)

называется определителем (детерминантом) 2-го порядка.

Число

∆ = , равное а₁₁а₂₂ а₃₃ + а₁₂а₂₃ а₃₁ + а₁₃а₂₁ а₃₂ – а₁₃а₂₂ а₃₁ – а₁₂а₂₁ а₃₃ – а₁₁а₂₃ а₃₂, (2)

называется определителем (детерминантом) 3-го порядка.

Символы а_ij, i = 1, 2, … , n; j = 1, 2, … , n, называются элементами определителя, при этом первый индекс i в элементе означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Так, элемент а₂₃ стоит во второй строке и третьем столбце.

Элементы а₁₁, а₂₂ в определителе (1) и а₁₁, а₂₂, а₃₃ в определителе (2) составляют главную диагональ определителя, а элементы а₁₂, а₂₁ и а₁₃, а₂₂, а₃₁ в тех же определителях – побочную диагональ.

Для вычисления определителя 2-го порядка необходимо от произведения элементов, которые стоят на главной диагонали, отнять произведение элементов, составляющих побочную диагональ.

-

+

+

Определитель 3-го порядка обычно вычисляется по правилу треугольников (рис.1.1):

-

-

∆ =

Рис. 1.1.

первые три произведения в правой части формулы (2) являются произведениями элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, у которых одна сторона параллельна главной диагонали. Аналогично строятся произведения со знаком минус, где за основу берется побочная диагональ.

Замечание. Элементами определителя могут быть не только числа, но и алгебраические или

тригонометрические выражения, функции и т.д.

Примеры. Вычислить определители: а) ; б) ; в) .

• По формулам (1) и (2) имеем:

а) = 2 · 5 – (–4) · 3 = 22; б) = cos²α + sin²α = 1;

в) = 2 · (–2) · 3 + 3 · 1 · 1 + 4 · 5 · 2 – 4 · (–2) · 1 – 3 · 5 · 3 – 2 · 1 · 2 = –10.

Рассмотрим (на примере определителей 3-го порядка) основные свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами:

= .

Доказывается непосредственной проверкой: достаточно раскрыть оба определителя по формуле (2). Свойство 1° устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства справедливы и для строк и для столбцов. Доказываются они, как и свойство 1° проверкой.

2°. Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. Например,

= – .

3°. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю. Например,

= = 0.

4°. Если у определителя две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю. Например,

= = 0.

5°. Общий множитель, который находится во всех элементах одной строки (столбца), можно вынести за знак определителя. Например, = k .

6°. Если у определителя элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-й строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равняется сумме двух определителей, у одного из которых n–я строка (столбец) состоят из первых слагаемых, а у второго – из вторых; остальные элементы всех трех определителей одинаковы. Например,

= + .

8°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например,

= .