1.2. Функции
Наряду с понятиями множества и элемента в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие неявным образом присутствует и в понятии множества, поскольку понятие множества предполагает, что каждый элемент данного множества обладает определенным свойством, отличающим его от элементов, не входящих в это множество. Иначе говоря, каждому из рассматриваемых элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важную роль в математике играют соответствия, называемые функциями. Опишем эти соответствия. Пусть заданы непустые множества X и Y. Соответствие, при котором каждому элементу x X соответствует единственный элемент y Y, называется функцией, заданной (определенной) на множестве X со значениями в множестве Y, или отображением множества X в множество Y. Такая функция (такое отображение) обозначается с помощью некоторой буквы, например, буквы f одним из следующих способов:
y
= f(x), x
X,
или
f: X
Y
или
f: x
y,
x
X,
y
Y.
Наряду с терминами "функция", "отображение" употребляются равнозначные термины "преобразование", "морфизм". Элемент x X называется независимым переменным или аргументом, а соответствующий элемент y Y -зависимым переменным. Множество X называется множеством задания (определения) функции f, а множество тех y Y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x X - множеством значений функции f и обозначается Yf. Очевидно, Yf Y. Если Yf =Y, то отображение f называется отображением X на множество Y или сюръекцией. Если при x x выполняется неравенство f(x) f(x'), то отображение f называется взаимно однозначным отображением X в Y или инъекцией. Если f является взаимно однозначным отображением X на Y, т.е. является одновременно сюръекцией и инъекцией, то оно называется биекцией.
Если задано отображение f: X Y, то элементы множеств X и Y часто называются точками.
Символом f(x) обозначается как сама функция, так и элемент, соответствующий элементу x при этой функции. Обозначение одним и тем же символом f(x) как самой функции, так и ее значения в точке x не приводит к недоразумениям, так как всегда из контекста ясно, о чем идет речь. Значение функции в точке xo обозначается также f(x)|xo.
Если f: X-> Y и E - подмножество множества X, то функция fE : X-> Y, такая, что для каждого x E выполняется равенство fE(x)=f(x), называется сужением функции на множество E. Таким образом, сужение fE функции f принимает в точках x множества E те же значения, что и функция f. Иногда сужение fE функции f обозначают тем же символом f, что и саму исходную функцию, и называют функцией f на множестве E.
Пусть заданы функция f: X Y и A X. Множество всех y Y, являющихся значениями функции f в точках x А, называется образом множества A при отображении f и обозначается f(A), т. е.
f(A) {y: x A, f(x)=y}. |
В частности, образ множества X есть множество значений функции: f(X) = Yf. Если B Y, то множество всех тех точек x X, значения функции f в которых принадлежат множеству B, называется прообразом множества B. То есть прообразом множества B является множество {x: f(x) B}.
Пусть
Z
- некоторое множество и Y=
(Z)
-
множество всех его подмножеств. Если
f:
X
Y,
то значение f(x)
функции f
в точке x
X
является в этом случае некоторым
подмножеством множества Z:
f(x)
Z.
Если среди подмножеств f(x),
x
X,
имеется по крайней мере одно непустое
множество, содержащее более одного
элемента, то функция f
называется
многозначной
функцией.
При этом всякий элемент z
Z,
принадлежащий множеству f(x)
Z,
т.е. z
f(x),
часто также называется значением
функции f в точке x
X.
Если каждое из множеств f(x) состоит только из одного элемента, то функцию f называют однозначной функцией. Пусть (X)- множество всех подмножеств множества X. Функция, определенная на множестве Yf=f(X) значений функции f: X Y, с областью значений, принадлежащей множеству (X), и ставящая в соответствие каждому элементу y Yf его прообраз {x: f(x)=y}, называется обратной к f функцией и обозначается через f -1: Yf (X). Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Если отображение взаимно однозначно (т.е. является инъекцией), то обратная функция является однозначной. Если отображение f является взаимно однозначным отображением X на Y, то обратное отображение f -1 является взаимно однозначным отображением Y на X (т. е. если f: X Y - биекция, то и f -1: Y X - биекция), и поэтому f является в свою очередь отображением, обратным к отображению f -1. Это означает, что при любом x X имеет место равенство f -1f(x)=x, а при любом y f(X) - равенство f f -1(y)=y. При этом для заданного инъективного отображения f: X Y каждое из указанных двух условий однозначно определяет обратное отображение f -1. Если
f:
X
Y
и
g:
Y
Z,
то функция F:
X
Z,
ставящая в соответствие каждому
элементу x
X
элемент F(x)=g(f(x)),
называется композицией
функций f и g (иногда
– суперпозицией
этих функций или сложной
функцией)
и обозначается
g |
f.
Таким образом, согласно определению
для каждого x
X
имеет
место равенство (g
f)(x)
g(f(x)).Счетные множества. Множества Е и F называются равномощными если существует биекция f: E -> F. Множество E называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N.
Пример. Множество рациональных чисел Q счетно. Доказательство.
Представим рациональные числа в виде следующей таблицы:
0 1/1 1/2 1/3 1/4…
-1/1 -1/2 -1/3 -1/4…
2/1 2/2 2/3…
-2/1 -2/2 -2/3…
3/1 3/2…
-3/1 -3/2…
4/1…
-4/1…
Искомая биекция будет f: N->Q может быть определена правилом:
f(1)=0, f(2)=1/1, f(3)=-1/1, f(4)=1/2, f(5)=-1/2, ….
(встречающиеся ранее числа в дальнейшей нумерации не участвуют). Таким образом, Q равномощно N.
Лекция 2. Аксиоматическое определение действительных чисел.