3. Скорость и ускорение

Рассмотрим движение материальной точки из положения А в положение В вдоль произвольной траектории (рис. 1.3). Положения материальной точки в начальный и конечный момент времени определяются радиус-векторами и ; за время материальная точка проходит путь и получает приращение радиус-вектора – вектор перемещения.

Рис. 1.3

Среднюю скорость можно определить как

_(1.3)

В случае малого промежутка времени ( ), получаем выражение для мгновенной скорости

_(1.4)

Математически понятие мгновенной скорости совпадает с определением производной (или иначе: физический смысл понятия производной есть мгновенная скорость)

_(1.5)

Скорость – векторная величина, направление которой определяется касательной к траектории в данной точке. Для вектора скорости справедливо векторное сложение.

_(1.6)

Например, такое часто наблюдается в строительстве. Так, автомобильный кран, имеющий выдвижную стрелу, поднимает груз. При этом стрела, находясь под углом, выдвигается и еще вращается вокруг вертикальной оси. Груз участвует в трех движениях и обладает, соответственно, скоростями: вверх - , вдоль оси стрелы - и окружной скоростью . Результирующая скорость будет:

Часто на практике используется средняя скорость.

– средняя скорость _(1.7)

При достаточно малом промежутке времени имеем

– мгновенная скорость _(1.8)

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению при неравномерном движении, называется ускорением. Если за промежуток времени скорость изменилась на , то

– среднее ускорение _(1.9)

– мгновенное ускорение _(1.10)

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории со скоростью , которая изменяется по величине и по направлению (рис. 1.4). За время точка переместилась из положения А в положение В и прошла путь , равный дуге АВ. За это время материальная точка приобрела скорость . Переместив вектор в положение А, определим приращение скорости на пути АВ; оно будет равно .

Рис. 1.4

Разложим на составляющие и , совпадающий с .

– характеризует изменение скорости по направлению;

– характеризует изменение скорости по величине:

= + _(1.11)

Ускорение будет равно

_(1.12)

– полное ускорение, состоящее из двух компонент.

– тангенциальное (или касательное) ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю за время . Это означает, что тангенциальное ускорение есть производная от скорости по времени.

_(1.13)

Тангенциальное ускорение – векторная величина, направленная в сторону вектора скорости.

Определим составляющую .

Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением

_(1.14)

При точка А близка к точке В. В этом случае путь можно считать дугой окружности радиуса R. При этом дуга мало отличается от хорды АВ. Треугольники АОB и АСD подобны, как равнобедренные.

Отсюда следует, что

_(1.15)

При , , но так как , то

_(1.16)

и получаем

_(1.17)

Нормальное ускорение также называют центростремительным ускорением. Оно направлено по нормали к касательной к центру кривизны траектории.

Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 1.5):

_(1.18)

При имеем .

Рис. 1.5

В зависимости от и движение можно классифицировать следующим образом:

1. , – движение прямолинейное равномерное;

2. , – движение прямолинейное ускоренное;

3. , , – равномерное движение по окружности.

Движение по криволинейной траектории можно представить как прямолинейное движение и движение по окружностям разных радиусов (рис. 1.6)

Рис. 1.6