Лекція № ___5__

Тема лекції: Моделювання і його роль у дослідженні

План лекції

1. Поняття моделі та моделювання

2. Основні типи моделей

3. Детерміновані та імовірнісні математичні моделі в економіці

4. Етапи процесу моделювання та приклади економіко-математичних моделей економічних процесів та явищ

Література

1. Оспіщев в.І., Кривошей в.В. Технологія наукових досліджень в економіці: Навч.Пос. – к. «Знання», 2013. - 256с.

2. Отенко і.П. Основи наукових дослідженб: Конспект лекцій. Х.: Вид.Хнеу, 2010. – 80 с.

3. Шишкіна Є.К., Носирєв О.О. Методологія наукових досліджень [Текст]: навч. посіб. / Є.К. Шишкіна, О.О. Носирєв. – Х.: Вид-во «Діса плюс», 2014. – 200 с.

4. Кузьмин И. В. Основы научных исследований: [учеб. пособ.] / И. В. Кузьмин; Винниц. нац. техн. ун-т. — Винница: ВНТУ, 2014. — 111 с

Зміст лекції

1.Поняття «моделі» та «моделювання». Термін «модель» широко вживаний не лише в науковій літературі, причому залежно від ситуації в нього вкладається різний зміст. Слово «модель» походить від латинського «modulus», що означає міра, мірило, зразок, норма.

У найширшому сенсі під словом «модель» розуміють деякий образ об’єкта (зокрема, умовний чи уявний), що нас цікавить, або, навпаки — прообраз деякого об’єкта чи системи об’єктів. Наприклад, глобус — модель Земної кулі, фотографія — модель зображеного на ній об’єкта; карта — модель місцевості і т. ін. Що ж до розуміння моделі як прообразу, то можна згадати, наприклад, модель автомобіля, експоновану на виставці, за якою надалі поч­неться масове виготовлення таких автомобілів.

Під моделюванням розуміють дослідження об’єктів пізнання не безпосередньо, а непрямим шляхом, вивченням деяких інших допоміжних об’єктів.

Аналогією називають судження про будь-яку подібність у деякому сенсі двох об’єктів. Визначення ступеня істотності подібності чи відмінності об’єктів є умовним і відносним. Істотність подібності (відмінності) залежить від погляду спостерігача і визначається конкретною задачею. Сучасна наукова гіпотеза створюється, як правило, на підставі аналогії з виконаними на практиці науковими дослідженнями. Отже, аналогія пов’язує гіпотезу з експериментом.

Гіпотези й аналогії, що відбивають світ, який реально, об’єктив­но існує, мають бути наочними і зводитися до зручних для дослідження логічних схем. Такі логічні схеми, що спрощують міркування та логічні побудови або дають змогу проводити експерименти для уточнення природи явища, називаються моделями.

Іншими словами: модель — це деякий об’єкт-замінник об’єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких істотних, з погляду дослідника, властивостей оригіналу.

Заміщення одного об’єкта іншим із метою здобуття інформації про найважливіші властивості об’єкта-оригіналу за допомогою об’єкта-моделі називається моделюванням. Таким чином, моделювання полягає в заміні об’єкта моделлю з метою дістати інформацію про цей об’єкт, виконуючи експерименти з його моделлю. Теорія заміщення одних об’єктів (оригіналів) іншими (моделями) і дослідження властивостей об’єктів на їхніх моделях називається теорією моделювання.

Якщо результати моделювання підтверджуються і можуть бути основою для прогнозування процесів, що відбуваються в об’єкті-оригіналі, то говорять, що модель адекватна об’єктові. При цьому адекватність моделі залежить від мети моделювання і прийнятих критеріїв.

Перше й основне запитання, що постає у процесі моделювання: на якій підставі за властивостями моделі можна робити висновки про властивості об’єктів, що нас цікавлять? Єдиної відповіді на це запитання не існує. У кожному окремому дослідженні необхідно доб­ре усвідомити, на чому ґрунтується впевненість і можливість пере- несення здобутих у дослідженні результатів із моделі на оригінал.

Друге запитання — а навіщо потрібно використовувати якісь допоміжні об’єкти (моделі) і навіщо розв’язувати складну проб­лему адекватності, якщо, можливо, простіше було б досліджувати об’єкт безпосередньо?

Передусім із практичних міркувань: моделі вибираються таким чином, щоб вони були значно простіші для дослідження, ніж об’єкти, що нас цікавлять. Більш того, деякі об’єкти взагалі не вдається досліджувати суто експериментально. Особливо це стосується економічних об’єктів та систем. Наприклад, пізнавальний експеримент на базі економіки будь-якої країни практично неможливий, а коли б його й здійснили, то наслідки були б дуже сумними. Окрім того, моделювання дає змогу виявляти найістотніші фактори, що впливають на поводження оригіналу.

2. Основні типи моделей. Натурні моделі. У разі натурного моделювання оригінал (об’єкт) і модель тотожні. Такі моделі широко використовуються в техніці з метою випробувати окремі види продукції чи агрегатів: на стадії складання певну частину виробів (електронних мікросхем, двигунів, автомобілів тощо) піддають тестуванню.

Фізичні моделі. Фізичне моделювання передбачає, що об’єкт і модель мають однакову фізичну природу. Саме такими є, скажімо, літак і його геометрична модель. На цій підставі за результатами продування моделі в аеродинамічній трубі роблять висновки про аеродинамічні якості літака. Зв’язок між характеристиками літака та його моделі встановлюється згідно з теорією подібності.

Аналогові моделі. Аналогове моделювання ґрунтується на аналогії явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями. Найпростіший приклад: вивчення механічних коливань за допомогою електричної схеми, фізичні процеси в якій описуються тими самими диференціальними рівняннями, що й коливання.

Знакові моделі. У знаковому моделюванні моделями є знакові утворення деякого виду. Розглядають вербальні моделі, схеми, графи, графіки, креслення, математичні вирази, формули тощо, причому знакові утворення та їхні елементи завжди задаються разом із тими законами (правилами), відповідно до яких ними можна оперувати.

Математичні моделі. Найважливішим видом знакового моделювання є математичне моделювання, коли моделі будуються (описуються) засобами математики і логіки.

Наприклад, для економічної кібернетики найбільшу практичну цінність становить економіко-математичне моделювання, спрямоване на дослідження економічних систем засобами математичного моделювання з урахуванням специфіки економіки та використанням здобутків економічних дисциплін (економічної теорії, макро- та мікроекономіки, менеджменту тощо).

На особливу увагу сьогодні заслуговує імітаційне моделювання, що по­вторює функції або розвиток соціального явища. Види імітаційних моделей можуть бути різними. Серед них виділяються ігрові (люди виконують ігрові ролі); машинні (комп’ютерні аналоги) і людино-машинні моделі. Останні яв­ляють собою діалогові комп’ютерні системи, що імітують реальні соціальні процеси з активним використанням евристичних даних, які одержують у про­цесі взаємодії з людиною, що є експертом у галузі знання або практики.

У комп’ютерному імітаційному моделюванні (машинне і людино-машин- не) об’єкт вивчення і його соціологічна теорія первинні стосовно методів, екс­пертних оцінок і т. д.

Тут ставиться питання про те, яка з математичних теорій, який матема­тичний апарат можуть найбільше адекватно описати об’єкт, що моделюється.

Створення комп’ютерних імітаційних моделей починається з початкової ідеалізації представлення про об’єкт і створення на його основі першого варі­анта моделі. Робота з моделлю дає можливість з’ясувати, якої інформації про об’єкт бракує, а яка вимагає уточнення. На основі отриманих даних будується програма наступних емпіричних досліджень об’єкта, результати яких допома­гають побудувати інший, уточнений варіант його моделі. За необхідності інте­граційні цикли можуть повторюватися кілька разів. Перевага комп’ютерного моделювання полягає в наявності такої імітаційної моделі, що заміщає при­родний експеримент над самим об’єктом, дає можливість замінити його мо­дельним експериментом, у якому модель імітує поводження об’єкта при різних початкових даних, вихідних параметрах і обмеженнях. Однієї з перших сфер використання імітаційних моделей були військові ігри, у яких, як відомо, по­трібна висока точність імітації. У силу специфічності найоб’єктивніших зако­нів розвитку суспільства, питання адекватності управління земельними ресур­сами є більш складним, ніж у природничих науках, і розробляється особливо.

В. А. Отрут, характеризуючи програму теоретико-прикладного дослі­дження, формалізує принципи й етапи побудови соціальної моделі:

1) формулювання проблеми, визначення об’єкта і предмета дослідження;

2) визначення мети і постановка завдань дослідження;

3) уточнення й інтерпретація основних понять;

4) попередній системний аналіз об’єкта дослідження;

5) розгортання робочих гіпотез.

3. Методи дослідження економічних процесів базуються на використанні математичних - детермінованих та імовірнісних - моделей, представляють досліджуваний процес, систему чи вид діяльності. Такі моделі дають кількісну характеристику проблеми і служать основою для прийняття управлінського рішення при пошуках оптимального варіанту. Наскільки обгрунтовані ці рішення, чи є вони кращими з можливих, чи враховані і зважені всі фактори, що визначають оптимальне рішення, який критерій, що дозволяє визначити, що дане рішення дійсно найкраще, - таким є коло питань, мають велике значення для керівників виробництва, і відповідь на які можна знайти за допомогою методів дослідження операцій. Говорячи про математичне моделювання економічних процесів, мають на увазі саме імовірнісні моделі.

Детерміновані математичні моделі характеризуються тим, що описують зв'язок деяких факторів з результативним показником як функціональну залежність, тобто в детермінованих моделях результативний показник моделі представлений у вигляді твору, приватного, алгебраїчної суми факторів, або у вигляді будь-якої іншої функції. Даний вид математичних моделей найбільш поширений, оскільки, будучи достатньо простими в застосуванні (у порівнянні ймовірнісними моделями), дозволяє усвідомити логіку дії основних факторів розвитку економічного процесу, кількісно оцінити їх вплив, зрозуміти, які чинники і в якій пропорції можливо і доцільно змінити для підвищення ефективності виробництва.

Імовірнісні математичні моделі принципово відрізняються від детермінованих тим, що в імовірнісних моделях взаємозв'язок між факторами і результуючим ознакою імовірнісна (стохастична): при функціональної залежності (детерміновані моделі) одного і того ж стану факторів відповідає єдине стан результуючого ознаки, тоді як в імовірнісних моделях одного і того ж стану факторів відповідає ціле безліч станів результуючого ознаки.

Перевага детермінованих моделей в простоті їх застосування. Основний недолік - низька адекватність реальної дійсності, оскільки, як було зазначено вище, більшість економічних процесів носить імовірнісний характер.

Гідністю імовірнісних моделей є те, що вони, як правило, більше відповідають реальній дійсності (більш адекватні), ніж детерміновані. Однак, недоліком імовірнісних моделей є складність і трудомісткість їх застосування, так що в багатьох ситуаціях досить буває обмежитися детермінованими моделями.

4. Побудова економіко-математичних моделей (ЕММ) у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами,  а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо.

При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні спів- відношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв’язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.

Проте моделі складних економічних об’єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв’язання.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскіль­ки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математич- не моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютер­них програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об’єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослід­ження.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властиво-тями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач (аналіз економічних об’єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).

Верифікація моделі — перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі — перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім — до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі — до третього і т. д.

Приклади побудови економіко-математичних моделей економічних процесів та явищ

Приклад 1. Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску n видів продукції Х = (х1, х2, …, хn) за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів  , норми витрат і-го ресурсу на виробництво одиниці j-ої продукції   та прибуток з одиниці j-ої реалізованої продукції  .

Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Позначимо через х1, х2, …, хn обсяги виробництва відповідно першого, другого і т. д. видів продукції.

Оскільки на одиницю продукції 1-го виду витрачається   ресурсу першого виду, то на виробництво першого виду продукції обсягом х1 необхідно витратити а11х1 цього ресурсу. На другий вид продукції обсягом х2 витрати першого ресурсу дорівнюватимуть а12х2 і т. д. На виробництво всіх видів продукції буде використано такий обсяг першого ресурсу: а11х1 + а12х2 + … + + а1nxn. Ця величина має не перевищувати наявного обсягу першого ресурсу — b1. Отже, обмеження щодо використання першого ресурсу матиме вигляд: а11х1 + а12х2 + … + а1nxn ≤ b1. Аналогічно записують обмеження стосовно використання всіх інших виробничих ресурсів. Прибуток від реалізації виготовленої продукції всіх видів становитиме: с1х1 + с2х2 + … + сnxn.

Загалом лінійна економіко-математична модель даної задачі матиме вигляд:

за умов:

.

Математична модель виробничої задачі може бути застосована для різних економічних задач, де виникає проблема вибору найкращого варіанта розподілу обмеженої кількості ресурсів, хоча з першого погляду може здаватися, що постановка задачі не стосується виробничих процесів. Наведемо кілька конкретних прикладів виробничих задач.

Приклад 2. Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’язкові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:

1.01 —31.01: витрати — 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 — 300 000 грн;

1.02 —28.02: витрати — 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 — 200 000 грн;

1.03 —31.03: витрати — 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 — 190 000 грн.

Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці — 5 %, а терміном на 3 місяці — 8 %.

Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.

Побудова економіко-математичної моделі

Кредити терміном на один місяць можна надавати кожного місяця протягом кварталу, тому позначимо через х11 суму кредиту, що надано на один місяць з 1.01, аналогічно х12,х13 — суми одномісячних кредитів, що надані відповідно в другому та у третьому місяцях.

Кредити терміном на два місяці протягом першого кварталу можна надавати лише в першому і другому місяцях, тому позначимо через х21 суму кредиту, що надано на два місяці в січні, х22 — суму кредиту, що надана в лютому на два місяці. Нарешті, кредит на три місяці можна надати лише один раз із 1.01, його позначимо через х31.

Розглянемо ситуацію на початку першого місяця кварталу: початкова сума 1 млн грн витрачатиметься на вкладення коштів у всі види кредитів, потреби в обігових коштах для господарської діяльності фірми становитимуть 80 000 грн, а на кінець місяця фірма бажає мати резерв обсягом 300 000 грн. Отже, використання коштів у січні можна описати у моделі так:

.

Наявні кошти в кінці місяця (окрім резерву) визначаються за формулою:

На початку другого місяця сума S1 може надаватися в кредит, але лише двох видів та має забезпечувати витрати діяльності. Одночасно на початку другого місяця повертаються кошти, що є процентами за одномісячний кредит, який було надано в січні. Враховуючи необхідність резерву на кінець другого місяця, маємо таке обмеження щодо використання коштів у лютому:

,

а наприкінці лютого обсяг наявних коштів становитиме:

.

Аналогічно запишемо використання коштів у березні:

.

Загальна сума коштів, отриманих як проценти за надані кредити, дорівнюватиме:

.

Загалом математична модель цієї задачі має вигляд:

за умов:

Приклад 3. На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше сорока хвилин. Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.