Напряжения при растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении.(рис.2).

Рис.2

Напряжение можно рассчитать по формуле: σ = Nz./А,

где Nz. – продольная сила в сечении; А – площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Размерность (единица измерения) напряжений – Н/м² (Па), или в Н/мм²(МПа) . 1 МПа = 1 Н/мм².

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспе­чена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее рас­четное (рабочее) напряжение а не превосходит допускаемого [σ],

σ = N/A < [σ], (1)

где N - абсолютное значение продольной силы в сечении;

А - площадь поперечного сечения;

[σ] - допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

С помощью формулы (1) решается три вида задач (выполня­ется три вида расчетов).

1. Проверка прочности (проверочный расчет).

При заданных продольной cилe N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым непосредственно по формуле (1).

Превышение расчетного (рабочего) напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть больше 5 %, иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочие напряжения значительно ниже до­пускаемых σ « [σ], получаются неэкономичные конструкции с чрезмерным, необоснованным расходом материала. Такие ре­шения являются нерациональными. Следует стремиться к мак­симальному использованию прочности материала и снижению материалоемкости конструкций.

2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия (1), можно определить необходимые размеры сечения, зная продоль­ную силу и допускаемое напряжение. Решив неравенство (1) относительно А, получим

A>N/[σ]. (2)

3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня мож­но найти по формуле

[N]<[σ]А. (3)

Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

Пример1. Для двухступенчатого сталь­ного бруса (рис. 3) по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Проверить прочность каждого участка. Опреде­лить перемещение свободного конца бруса, приняв модуль продольной упругости

Е = 2·10^s Н/мм²; F₁ = 50 кН, F ₂ =120 кН, А₁ = 350 мм², А₂ = 550 мм²,

l1 =0,6м; l2 =0,5м; l3=0,4м.

Решение

1.Разделим брус на участка (рис. 3 а). В заданном бpycе их три.

Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или изменяется площадь поперечного сечения.

Так как силы, нагружаю­щие брус, расположены по его центральной продольной оси, то в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор - продольная сила N т. е. имеет место растяжение (сжатие) бруса.

2.Применяя метод сечений определим продольные силы N каждом участке:

на участке 1

n_i = f_i = 50 кН;

(сила N направлена от сечения. Значит, имеет место растяжение участка I).

на участке 2

n₂ = f_i = 50 кН;

на участке 3

N₃ = F_l - F₂ = 50 - 120 = - 70 кН.

(сила N направлена в сечение значит, на участке 3 имеет месте сжатие бруса).

Построим эпюру N (рис. 3 д).

Для этого параллель­но оси бруса проведем базовую (нулевую) линию.

Вверх откла­дываем значение продольной си­лы, вызванной растяжением участка, а вниз - сжатием. В пределах каждого участка про­дольная сила постоянна, поэтому на эпюре изобразится линией, параллельной оси бруса.

Эпюра штрихуется линиями, перпен­дикулярными оси бруса.

3.Определим напряжения σ в поперечных сечениях бруса.

на участке 1

σ1 = N₁ / А₁ = 50·10³ / 350 = I42.85 МПа,

на участке 2

σ ₂ = N₂/А₂ =(50·10³)/550 = 90,9 МПа.

на участке 3 (А₁ = А₂)

σ ₃ =N₃/ А₃ = -40·10³ /550 = -127,27 МПа.

В соответствии с полученными значениями напряжений нормальных напряжений (рис. 3 е).

4. Проверим прочность каждого участка.

Условие прочности : σ < [σ],

На участке 1- σ 1 < [σ _р]; 142,85 < 160 - прочность участка не обеспечена, имеет место недогруз бруса, определим:

Δσ 1 = ,

Необходимо изменить площадь сечения бруса на этом участке. Из условия прочности σ = N/A < [σ], следует

A>N/[σ],

тогда для участка 1 рациональным будет сечение площадью

А₁ = N₁/[ σ _р] = (50·I0³)/160=312,5 мм².

На участке 2 - σ 2 < [σ _р]; 142,85 < 160; 90,9 < 160 - имеет место значительная недогрузка бруса. Определим ее.

Недогрузка равна:

Δσ 2 = .

С целью экономии материала целесообразнее было бы изменить площадь сечения бруса на этом участке. Из условия прочности σ = N/A < [σ], следует

A>N/[σ],

тогда для участка 2 рациональным будет сечение площадью

А₂ = N₂/[ σ _р] = (50·I0³)/160=312,5 мм².

На участке 3-

σ 3 < [σ _с]; 127,27 > 120 - имеет место перегрузка бруса.

Определим ее. Перегрузка равна

Δσ 3 =( σ 3 - [σ _с]/ [σ _с] )100%

6% ,

что вполне допустимо, условие прочности выполняется.

Определим перемещение свободного конца бруса:

Δl = 1/Е(σ1 l1 + σ2 l 2 + σ3l3) = 1/ 2·10⁵ (142,85 · 0,6 ·10³ + 90,9 ·0,5·10³ - 127,27 ·0,4·10³) = 0,4 мм - брус удлинился

Ответ: Δl = 0,4 мм.

Рис.3