Задание 1
1.1 Дайте письменный ответ на следующие теоретические вопросы по темам «Классификация погрешностей измерений. Оценка случайных погрешностей прямых измерений»:
1.1.1 Погрешность измерений – это несоответствие результата измерения истинному значению физической величины.
1.1.2 Классификация погрешностей (с кратким пояснением) по способу вычисления, причине возникновения, характеру проявления, условиям измерения;
1. По способу вычисления
Абсолютная погрешность
Разность между измеренным и истинным значением:
∆А= Аизм – Аист = Аизм - Ад
Единицы измерения абсолютной погрешности соответствуют единицам измерения измеряемой величины
Относительная погрешность
Отношение абсолютной погрешности к действительному значению, выраженное в процентах
Приведенная погрешность
Отношение абсолютной погрешности к нормированному
з
начению,
выраженное в процентах
В качестве нормируемого значения используется некоторая константа, характеризующая данный прибор. Например, верхнее значение шкалы прибора, максимальный угол поворота стрелки индикатора, длина шкалы и т.п.
2. По причине возникновения
Инструментальная
Вызвана несовершенством измерительного прибора.
Методическая
Вызвана недостаточной изученностью объекта, несовершенством метода измерения и обработки, использованием приближенных формул.
Погрешность установки
Вызвана неправильным положением прибора относительно Земли, источников внешнего влияния.
Субъективная
Вызвана приближенными действиями измеряющего.
3. По характеру проявления
Систематическая составляющая
Вызвана постоянно действующими причинами, постоянна по знаку и величине.
Может быть выявлена, рассчитана и исключена путем введения поправки.
Случайная составляющая
Вызвана одновременным совместным действием многих факторов. Результирующее воздействие данных факторов индивидуально в каждый момент времени, поэтому случайная составляющая погрешности переменна по знаку и величине.
Может быть выявлена путем многократных измерений.
Промахи
Грубые ошибки, вызванные неверными действиями измеряющего.
Выявляется путем сравнения результата измерений с ожидаемым значением.
4. По условиям измерения
Основная
Определяется для нормальных условий:
температура 20оС
влажность 70%
давление 760 мм рт.ст. ( или 105 Па, 1 атм.).
Данная погрешность задается в паспорте.
Дополнительная
Вызвана отличием условий измерения от нормальных. Может дополнительно указываться в паспорте.
1.1.3 определение случайной составляющей погрешности измерения;
Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов.
1.1.4 причины возникновения случайных погрешностей;
Случайная погрешность вызвана одновременным совместным действием многих факторов. Результирующее воздействие данных факторов индивидуально в каждый момент времени, поэтому случайная составляющая погрешности переменна по знаку и величине.
1.1.5 краткая характеристика и особенности нормального закона распределения случайных погрешностей (закона Гаусса);
Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметрσ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения.
Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистикеи статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.
1.1.6 понятие среднеквадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдений ;
Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:
С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность P{|δ|}<ε.
1.1.7
понятие среднеквадратичного отклонения
(СКО) результата измерения
;
Среднее квадратическое отклонение результата измерения всегда меньше по величине, чем аналогичная характеристика для отдельных наблюдений, поскольку оно характеризует неопределенность нахождения среднего арифметического, т.е. величины более устойчивой, более надежной, чем единичные наблюдения. Для конкретных значений, приведенных в примере 26, имеем среднее квадратическое отклонение результата наблюдения, рассчитанное по 100 стержням, равно 0,015 мм, среднее квадратическое отклонение результата измерения, т.е.среднего арифметического значения диаметра, для всех 100 стержней составит) 0,015/ / 100 = 0,0016, т.е. будет в 10 раз меньше. Это означает, что если мы будем измерять 100 выборок по. 100 стержней в каждой, то в 67 выборках средние арифметические значения диаметров будут лежать в диапазоне от 2,060—0,0015 = 2,0585 до 2,060 + 0,(Ю15 = 2,0615 мм.
1.1.8 понятие доверительной вероятности и доверительного интервала.
Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.
Пусть 
-
выборка из некоторого распределения с
плотностью 
,
зависящей от параметра 
,
который может изменяться в интервале 
.
Пусть 
-
некоторая статистика и 
-
функция распределения случайной
величины 
,
когда выборка
имеет
распределение с плотностью 
.
Предположим, что 
есть
убывающая функция от параметра
.
Обозначим 
квантиль
распределения
,
тогда
есть
возрастающая функция от
.
Зафиксируем близкое к нулю положительное
число 
(например,
0,05 или 0,01). Пусть 
.
При каждом
неравенства
(1)
выполняются
с вероятностью 
,
близкой к единице. Перепишем
неравенства (1) в
другом виде:
(2)
Обозначим 
, 
и
запишем (2) в
следующем виде:
Интервал 
называется доверительным
интервалом для параметра
,
а вероятность
- доверительной
вероятностью.
1.2 Задача.
Вариант 14.
В процессе исследований выполнялось измерение частоты электрического сигнала. С целью уменьшения влияния случайной составляющей погрешности на результат проведена серия многократных равноточных измерений.
В результате измерений получено N значений частоты сигнала Fi. Считая, что случайная погрешность имеет нормальный закон распределения, определите:
наиболее достоверное значение частоты F;
среднюю квадратичную погрешность однократных наблюдений ;
максимально допустимую погрешность измерения max;
среднюю квадратичную погрешность результата измерения
;допустимую погрешность результата измерения доп при заданной доверительной вероятности pN(t);
систематическую составляющую погрешности измерительного прибора с, если известно показание более высокоточного прибора Fд.
Результат измерения запишите в соответствии с требованиями МИ 1317-86.
Исходные данные для решения задачи определяются из таблиц 1.1; 1.2; и 1.3.
Численные значения всех результатов наблюдений Fi (шестьдесят значений) заданы в таблице 1.3.
В соответствии с заданием для оценки допустимой погрешности используется только часть результатов.
Номера, используемых для расчетов результатов, определите по таблицам 1.1 и 1.2 в соответствии с вариантом «m,n». (Вариант соответствует последним цифрам номера студенческого билета «m,n»).
Буквой «i» обозначены номера результатов измерений Fi, которые необходимо выписать их таблицы 1.3 и учесть при обработке результата измерения.
Таблица 1.1 – Номера используемых результатов в соответствии с вариантом «m»
m |
1 |
i |
11-16 |
Fд,кГц |
27,90 |
Таблица 1.2– Номера используемых результатов в соответствии с вариантом «n»
n |
4 |
i |
45-50 |
pN(t) |
0,97 |
Таблица 1.3 – Результаты наблюдений значение Fi
i |
Fi кГц |
i |
Fi кГц |
11 |
27,66 |
45 |
27,66 |
12 |
27,82 |
46 |
27,52 |
13 |
28,01 |
47 |
27,65 |
14 |
27,88 |
48 |
27,70 |
15 |
27,71 |
49 |
27,93 |
16 |
27,95 |
50 |
28,00 |
Результаты промежуточных расчетов заносятся в таблицу 1.4.
Таблица 1.4 – Численные значения результатов наблюдений и их обработки
№ |
«i» (номера результатов наблюдений) |
Значения Fi кГц |
i = (Fi –F) кГц
|
i 2 = (Fi –F)2 кГц2
|
1 2 3 4 5 6 |
11 12 13 14 15 16 |
27,66 27,82 28,01 27,88 27,71 27,95 |
-0,24 -0,08 0,11 -0,02 -0,19 0,05 |
0,0576 0,0064 0,0121 0,0004 0,0361 0,0025 |
7 |
45 |
27,66 |
-0,24 |
0,0576 |
8 |
46 |
27,52 |
-0,38 |
0,1444 |
9 |
47 |
27,65 |
-0,25 |
0,0625 |
10 |
48 |
27,70 |
-0,2 |
0,04 |
11 |
49 |
27,93 |
0,03 |
0,0009 |
12 |
50 |
28,00 |
0,1 |
0,01 |
N=12 |
|
|
|
|
По закону Гаусса с вероятностью 99,7% абсолютная погрешность не превысит ∆max=3σ
∆max=3
Ответ:
F
= (27,79
)
кГц с p=99,7%
при н. у.
A
=
с p=99,7%
при н. у.