3.2.3. Анализ безынерционных распределений токов и напряжений

Закрытые вентили представляют собой разрывы электрической цепи, и потому напряжения на них не могут быть рассчитаны по (3.7). Напряжения на разрывах складываются как результат перераспределения напряжений на работающих ветвях, обтекаемых токами, а также на вентилях, вступающих в работу с нулевыми токами. Для расчёта этого распределения требуется применить особую схему замещения, которую можно назвать RE-схема.

RE-схема является резистивной электрической цепью, расчёт которой позволяет определить распределение напряжений работающих ветвей между неработающими вентилями. Она формируется следующим образом. Ветви, обтекаемые токами и ветви с нулевыми токами, но не являющиеся разрывами замещаются источниками ЭДС, величины которых определены по закону Ома для участка цепи, согласно (3.7):

Ветви, представляющие собой разрывы, замещаются некоторыми большими активными сопротивлениями r_RE. Например, в случае трёхфазного мостового преобразователя напряжения при полностью закрытых вентилях RE-схема будет иметь вид, показанный на рис. 3.8.

Рис. 3.8. RE-схема замещения трёхфазного мостового преобразователя

Напряжения

Расчёт RE-схемы осуществляется с применением метода контурных токов, для чего в рассмотрение вводится матрица независимых контуров H_RE. Эта матрица формируется по тем же формальным принципам, что и матрица независимых контуров для графа состояния.

Производится следующий переход от исходных уравнений напряжений ветвей U_RE к напряжениям на ветвях-разрывах U_RE:

где

отсюда

(3.15)

Надо отметить, что условная величина сопротивлений RE-схемы не сказывается на распределении напряжений, потому что в (3.15) происходит умножение прямой матрицы сопротивлений на обратную, при котором общий множитель r_RE сокращается.

Принудительное закрывание полностью управляемых вентилей – транзисторов вызывает, как уже отмечалось, мгновенное перераспределение токов вентильной цепи, ввиду чего вместе с управляемыми вентилями могут мгновенно переключаться диоды. Для отображения этого процесса предлагается применять специальный матрично-топологический анализ с применением искусственной RJ-схемы замещения.

RJ-схема замещения формируется, в принципе, так же, как RE-схема. Отличие заключается в использовании вместо источников ЭДС условных источников тока, соответствующих токам ветвей с индуктивностями. Эти токи, согласно законам коммутации, не могут изменяться скачком. Величины условных токов принимаются кратными единице, с учётом направления и выполнения первого закона Кирхгофа. Токи остальных работающих ветвей могут изменяться мгновенно, и потому они замещаются резисторами с условно малыми сопротивлениями r_RJ.

Сопротивления диодов RJ-схемы принимаются равными 10 условным единицам активного сопротивления безотносительно к состоянию (открыт-закрыт). Т.е. диоды замещаются R-цепочками без учёта предшествующего состояния, т.к. оно всё равно может измениться мгновенно в любой момент. Сопротивление цепочки замещения тиристора или транзистора определяется с учётом наличия или отсутствия импульса управления на нём:

(3.16)

где X_k – значение функции управления рассматриваемого вентиля.

Меньшее в 10 раз сопротивление для открытого состояния обеспечивает транзистору приоритет по величине условного тока по сравнению со встречно включённым диодом. А большая величина сопротивления в закрытом состоянии имитирует размыкание цепи. Получаемый при этом ток будет в 100 раз меньше токов открытых диодов. Этот анализ не предусматривает точного определения токов проверяемых вентилей, т.к. в данной ситуации достаточно установления самих фактов переключений вентилей путём определения направлений протекания токов.

Конфигурация RJ-схемы такая же, как у общей схемы замещения. Но для того, чтобы избежать топологического вырождения, связанного с соединением в звезду идеальных источников тока, к ним искусственно следует добавлять ветви с большим сопротивлением. Исходными для топологического анализа являются матрицы независимых контуров Н_RJ и соединений А_RJ. Матрица независимых контуров размером (h_RJ·n_RJ) составляется по (3.3). Здесь h_RJ – число независимых контуров исходной RJ-схемы, а n_RJ – число ветвей. Матрица соединений имеет размер (q_RJ∙n_RJ), где q_RJ∙-число независимых узлов. В качестве зависимого выбирается один из узлов исходной схемы. Исходя из соображений удобства описания, целесообразно в качестве зависимого узла брать общую точку одной из звёзд источников тока. Значение элемента

1, если j-я ветвь отходит от i-го узла,

А_RJ(i,j)= -1, если j-я ветвь входит в i-й узел, (3.17)

0, если j-я ветвь не касается i-го узла.

Приведённые топологические матрицы с помощью списков виртуально разделяются на подматрицы, соответствующие резистивной R-подсхеме и J-подсхеме источников тока:

H_RJ=[H_RH_J ] (3.18)

с размерами (h_RJ·n_R) и (h_RJ· n_J),

A_RJ=[A_RA_J] (3.19)

с размерами (q_RJ ·n_R) и (q_RJ · n_J), где n_R – число R-ветвей, не содержащих источников тока, n_J – число J-ветвей, содержащих источники тока.

Анализ RJ-схемы проводится на основании уравнений, составленных по законам Ома и Кирхгофа

, (3.20)

, (3.21)

, (3.22)

где по первому закону Кирхгофа связываются между собой токи подсхем, а по второму закону −напряжения подсхем. Вектор U_R напряжений ветвей R-схемы вычисляется по значениям вектора токов I_R и квадратной диагональной матрицы активных сопротивлений R_R размером n_R∙n_R.

Хотя в системе независимых уравнений (3.20)-(3.22) число уравнений (n_R+q_RJ+h_RJ) соответствует суммарному порядку неизвестных векторов I_R, U_R, U_J, она не может быть решена из-за отсутствия соотношений между токами и напряжениями J-схемы. Вводятся вектора узловых напряжений U_Y и контурных токов I_h, также выражаемые через дополнительно учитываемые независимые уравнения. Напряжения ветвей подсхем выражаются через вектор узловых напряжений с помощью транспонированной матрицы соединений:

, (3.23)

а вектора токов ветвей – через вектор контурных токов с помощью транспонированной матрицы контуров:

. (3.24)

Подставляем верхнюю часть (3.23) в (3.22) и получаем

_.

Это выражение подставляем в (3.20)

.

Отсюда находится формула для вычисления узловых напряжений

(3.25)

После умножения (3.19) на H_R и подстановки верхних частей (3.23) и (3.24) получаем зависимость

.

Отсюда находится формула для вычисления контурных токов

(3.26)

и токов ветвей RJ схемы

. (3.27)

Сравнение положительных значений элементов вектора I_RJ определяют приоритет открываний вентилей в случаях возникновения альтернативных ситуаций.