Трёхфазного мостового преобразователя напряжения

В полном графе трёхфазной мостовой схемы (рис. 3.6) дерево выделено жирными линиями. Матрица независимых контуров этого графа имеет вид

h_L0=3

(3.5)

H_R0=2

h_R0=2

Включённое или выключенное состояние вентиля, как и любой ветви, может отражаться с помощью специальных логических функций:

1 , если i-я ветвь обтекается током ( вентиль V_i открыт), (3.6)

0, если i-я ветвь током не обтекается (вентиль V_i закрыт).

На интервале, характеризующемся определённым сочетанием открытых и закрытых вентилей, конфигурация работающей схемы представляется графом состояния. Графу состояния соответствует матрица независимых контуров H_INT. с числами контуров h_{L_INT} , h_R__INT. Она может быть сформирована путём последовательного преобразования исходной матрицы H₀ к виду H_INT . Исходной информацией являются значения σ-функций ветвей схемы замещения на рассматриваемом интервале.

Нулевое значение σ-функции (закрытое состояние вентиля) означает разрыв цепи. Если закрывшийся вентиль является хордой, то преобразование матрицы независимых контуров к новому состоянию достигается простым вычёркиванием строки, связанной с разорвавшейся ветвью. Можно назвать эту операцию разрешением разрыва первого рода.

Если закрытый вентиль является ветвью дерева, то необходимо перестраивать граф состояния, выделяя новое дерево. Этому соответствует зануление значений в столбце, соответствующем закрытому вентилю, путём алгебраического сложения строк и вычёркивания одной из них. Например, с вышерасположенной строкой последовательно складываются или из неё вычитаются все нижерасположенные строки с ненулевыми элементами в рассматриваемом столбце. Подобную операцию можно назвать разрешением разрыва второго рода.

Алгоритм формирования матрицы независимых контуров графа состояния представляет собой циклическую процедуру разрешения сначала более простых разрывов первого рода, а затем второго рода (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Алгоритм формирования матрицы независимых контуров

Пусть, например, имеет место следующее сочетание значений σ-функций:

σ =[1 1 0 0 0 1],

т.е. открыты первый, второй и шестой вентили, а третий, четвёртый и пятый закрыты. В ветвях, не содержащих вентилей, σ-функции условно считаются единичными.

В четвёртом столбце, относящемся к одному из закрытых вентилей, всего один ненулевой элемент. Это свидетельствует о необходимости разрешения разрыва первого рода, т.е. о вычёркивании четвёртой строки, где находится этот ненулевой элемент. Уменьшается на единицу число контуров, не содержащих индуктивности (типа R), так как вычеркнутая строка была связана с контуром этого типа. Получается промежуточное значение матрицы независимых контуров:

Теперь в четвёртом столбце, связанном с закрытым вентилем V₄, только нулевые элементы. При следующем проходе в полученной матрице выявляются два столбца (третий и пятый), связанные с оставшимися неразрешёнными разрывами. В этих столбцах имеется по более, чем одному ненулевому элементу, соответствующим закрытым вентилям. Значит, требуется разрешение разрывов второго рода. Сначала оно выполняется в отношении закрытого вентиля V₃: четвёртая строка вычитается из первой и опускается. В промежуточной матрице независимых контуров Н остаются три контура, содержащие индуктивности (типа L):

Заметим, что и в третьем столбце все элементы оказались нулевыми, что свидетельствует об отсутствии контуров, в которые была бы включена третья ветвь с закрытым вентилем. Остаётся только один неразрешённый разрыв второго рода, связанный с закрытым вентилем V₅. Разрешение этого разрыва состоит в вычитании третьей строки из первой, из второй и опускании (вычёркивании) её:

В результате получается искомая матрица независимых контуров графа состояния, состоящая из двух строк, что свидетельствует о работе двух контуров на очередном интервале. Число контуров с индуктивностями уменьшается на единицу. В полученном графе состояния имеется два контура, и оба содержат индуктивности ( ).

При наличии матрицы независимых контуров уравнение состояния силовой схемы для интервала формируется в результате формального выполнения последовательности матричных операций. Исходными являются уравнения напряжений U, токов I и напряжений емкостей U_C для n ветвей полной схемы замещения:

(3.7)

где L, R, C – матрицы индуктивностей и взаимоиндуктивностей, активных сопротивлений и емкостей ветвей размером (n∙n), причём матрицы R и C – диагональные; E – вектор ЭДС ветвей.

Во втором уравнении системы (3.6) только n_C значащих строк – согласно числу емкостей в схеме. Это без осложнений учитывается использованием формального списка N_C номеров ветвей с емкостями

В общем случае система (3.7) имеет порядок 2n при 3n неизвестных. Чтобы получить разрешимую систему уравнений, следует применить дополнительно топологические соотношения между токами и напряжениями ветвей согласно законам Кирхгофа. В рассмотрение вводится вектор контурных токов I_h порядка n_INT . Выражение вектора токов ветвей через контурные токи с помощью транспонированной матрицы независимых контуров

(3.8)

означает включение в систему соотношений n независимых уравнений.

Остаётся применить второй закон Кирхгофа:

(3.9)

что даёт недостающие n_INT уравнений

где L_{h_INT}, R_h.INT – матрицы контурных индуктивностей и активных сопротивлений размером h_INT∙∙h_INT. Матричное уравнение, полученное для контурных токов, разделяется на два: дифференциальное, соответствующее hL контурам с индуктивностями, и алгебраическое, соответствующего hR контурам без индуктивностей. Матрицы и вектора разделяются на следующие составляющие:

(3.10)

С учётом второго уравнения (3.7) и выражений (3.10) получается уравнение состояния схемы замещения для интервала:

(3.11)

где зависимые токи контуров без индуктивностей I_{h_R} выражены через независимые инерциальные переменные, т.е. токи контуров с индуктивностями I_{h_L}

(3.12)

Интегрирование системы (3.11) позволяет определить изменение переменных состояния – токов независимых индуктивных контуров и напряжений емкостей на заданном шаге. На основании (3.8) определяются токи и производные токов всех ветвей схемы

(3.13)

(3.14)

По первому уравнению (3.7) при известных значениях токов ветвей и напряжений емкостей, а также производных токов вычисляются напряжения работающих ветвей, обтекаемых токами.