Компонентов

Можно ввести в рассмотрение оператор дифференцирования s, что позволит применить понятия импедансов и адмитансов индуктивностей (sL, 1/sL) и конденсаторов (1/sC, sC) [10]. Если предположить, что каждая ветвь содержит только один компонент, уравнение (2.91) можно представить в виде

, (2.92)

где Z_v, Y_v – квадратные матрицы импедансов и адмитансов ветвей, а W – вектор источников энергии – ЭДС и токов. Предполагается, что компоненты матриц параметров и источников энергии ветвей могут быть зависимыми как от времени, так и от значений токов и напряжений ветвей. Для схемы (рис. 2.36) матрицы импедансов и адмитансов имеют вид

Если число ветвей n_v, то число переменных будет (2n_v), в то время, как число компонентных уравнений – n_v. Дополнительные уравнения, необходимые для получения разрешаемой системы уравнений цепи, получаются на основе топологического анализа цепи.

Математическое моделирование электронных схем обычно осуществляется на основе применения метода узловых напряжений. Поэтому топология анализируемой цепи представляется матрицей проводимостей А, элементы которой вычисляются по следующим правилам:

A(i,j)= +1, если i ветвь выходит из j-узла,

A(i,j)= -1, если i ветвь входит в j-узел ,

A(i,j)= 0, если i ветвь не связана с j-узлом.

Размер матрицы соединений – (n_u∙n_v), где n_u – число независимых узлов цепи (на 1 меньше общего числа узлов). Матрица соединений для схемы рис. 2.36:

.

С помощью матрицы соединений по первому закону Кирхгофа формируется n_u уравнений:

. (2.93)

В рассмотрение вводятся дополнительные неизвестные –независимые узловые напряжения, составляющие вектор U_u размером n_u. Узловые напряжения связываются с напряжениями ветвей через транспонированную матрицу соединений, что даёт n_v недостающих уравнений:

. (2.94)

В итоге из (2.92)–(2.194) получается система независимых уравнений (n_u+n_v+n_v) порядка, описывающая процессы преобразования энергии в электрической цепи из E,J,C,L,R компонентов:

. (2.95)

Уравнение (2.95) представляет собой совокупность алгебраических и дифференциальных уравнений, которую следует разрешить относительно независимых контурных токов либо узловых напряжений. Математические модели, предусматривающие разрешение уравнений цепи относительно независимых инерциальных переменных электрической цепи, используют явную форму представления интегрируемой части системы в нормальном виде [1]. Обычно приведение уравнений к нормальному виду связано с получением обращённых матриц коэффициентов, то есть с применением длинной алгоритмической операции, требующей существенных затрат машинного времени при расчёте правых частей нормализованного уравнения. Как показала практика, моделирования устройств радиоэлектронной аппаратуры [10], при анализе электронных схем с ограниченным базисом электрических компонентов эффективнее оказываются неявные методы. Неявная форма математической модели основана на применении конечно-разностной аппроксимации инерциальных зависимостей и преобразовании всех физических переменных к единому ещё более простому базису. Этот процесс называется также алгебраизацией модели, в результате которого получается новая резистивная схема замещения.

Алгебраизация уравнений индуктивности и ёмкости при использовании метода Эйлера осуществляется с введением источников тока и напряжения, определяемых начальными условиями рассчитываемого шага (t, t_n):

На рис. 2.37 видно, что индуктивность преобразовалась в эквивалентную проводимость (h/L ), а ёмкость – в эквивалентное сопротивление (h/C).

Рассмотренная ранее схема (рис. 2.36) из пяти базовых компонентов будет представляться на очередном шаге расчёта эквивалентной резистивной схемой (рис. 2.38) из семи безынерционных элементов.

Рис. 2.38. Эквивалентная резистивная схема

Схемы электронных узлов и блоков собираются из интегральных схем, включающих большое число элементов. Их моделирование на основе прямого представления схемами замещения из J,E,C,R,L компонентов становится неэффективным из-за слишком больших размеров схем. Возникает необходимость применения схем замещения упрощенной структуры с соответствующими им макромоделями_[1].

Структура макромодели может существенно отличаться от структуры реальной схемы. С применением различных методов получаются зависимости выходных характеристик интегральной схемы или её укрупнённых блоков от входных токов, напряжений, времени. По ним строится эквивалентная схема из зависимых J,E,C,R,L компонентов – макромодель. Создано большое количество макромоделей типовых и серийных интегральных схем, различающихся математическими методами формирования, представления и применения.

Простейшая макромодель операционного усилителя включает источник напряжения e_ВЫХ, зависящий от входного тока i_ВЫХ (рис. 2.39). Величина сопротивления R_I может быть также зависимой от входного тока, что позволяет учесть, например, влияние температуры.

В модели (рис. 2.39) можно учесть изменение передаваемого сигнала из-за падений напряжений во входной и выходной цепях, но нельзя оценить функционирование усилителя в широкой частотной области. Модели, предназначенные для анализа схем на высоких частотах, дополняются цепочками с нелинейными реактивными элементами. Для ограничения величин сигналов вводятся модели стабилитронов.

Рис. 2.39. Простейшая модель операционного усилителя

В качестве примера проведено исследование канала преобразования сигнала низкой частоты на основе применения известной системы моделирования Micro-Cap [37]. На рис. 2.40. приведено графическое представление модели с параметрами, обеспечивающими двухполупериодное выпрямление и уменьшение величины входного сигнала переменного напряжения до уровня, согласующегося с параметрами аналого-цифрового преобразователя микроконтроллера ATmega.

На рис. 2.41, а даны расчётные диаграммы входного и выходного сигналов при точном соответствии параметров цепей расчётным значениям. Расчётная диаграмма (рис. 2.41, б) показывает появление явной асимметрии в полуволнах выходного сигнала при отклонении значений сопротивлений R₀ и R₂. всего на 5%. Это является недостатком схемы, который нужно учитывать при её применении.

Рис. 2.40. Представление в Micro-Cap двухполупериодного преобразователя