Дополнения к учебному пособию «Математика» для 5-го класса под редакцией Л.Б. Шнепермана, в связи с изменениями в программе

Материалы подготовили авторы

УМК по математике для 5 класса:

Е.П. Кузнецова, Г.Л. Муравьева,

Л.Б. Шнеперман, Б.Ю. Ящин, Ю.К. Войтова

● О математическом моделировании для учащихся 5 класса

Разные виды математического моделирования самым естественным образом демонстрируются, например, при решении текстовых задач. Так, мы имеем дело с графическими моделями при использовании отрезков для иллюстрирования особенностей условий задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их сумме и частному, по их разности и частному (см. соответствующие пункты в учебном пособии). Числовые выражения и выражения с переменными (формулы и уравнения) также могут являться моделями некоторых ситуаций, описанных в задачах.

Выражение (числовые или с переменной), составленное по данным задачи, это не что иное, как перевод условия задачи на математический язык – язык цифр, знаков действий и других символов. Полученное в процессе решения задачи равенство двух выражений, т.е. уравнение, – это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче.

Таблицы, схемы, рисунки, чертежи, графики, диаграммы также являются моделями определенных конкретных ситуаций, – учителю следует систематически обращать на это внимание учащихся.

● Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств

Несколько объектов, объединенных некоторым признаком, часто называют множеством. Например, можно сказать: множество всех стульев в комнате, множество всех картофелин в данном мешке, множество всех рыб в океане, множество всех букв на этой странице.

Объекты, составляющие некоторое множество, называют его элементами.

П р и м е р 1. Перечислите элементы множества:

а) всех дней недели; б) всех месяцев в году;

в) всех арифметических действий.

Решение. а) Элементы множества всех дней недели: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

б) Элементы множества всех месяцев в году: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

в) Элементы множества всех арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление.

Элемент может принадлежать множеству, и элемент может не принадлежать множеству. Например, апельсин принадлежит множеству фруктов, и апельсин не принадлежит множеству овощей.

Множество может не содержать ни одного элемента, – его называют пустое множество. Например, множество учащихся вашего класса, которым больше 17 лет, – пустое.

При решении некоторых задач бывает удобно множество изображать графически (использовать графические модели). Для этого можно нарисовать какой-нибудь замкнутый контур, например, овал. Затем отметить внутри этого контура элементы заданного множества, либо, если их слишком много, просто представить, что они находятся там.

Н апример, на рисунке 1 показано множество, состоящее из трех элементов – фигур, на рисунке 2 – из пяти элементов – букв.

■ ● ▲ М К Т О Р

Рис. 1 Рис. 2

А так, как на рисунке 3, можно изобразить, например, множество всех грибов.

Грибы

Рис. 3

П р и м е р 2.  Заданы: множество букв слова К А Р У С Е Л Ь и множество букв слова К А Р Т О Ф Е Л Ь. Укажите для этих множеств:

а) их общие элементы; б) все их элементы.

Р е ш е н и е.

а) Для множеств букв из слов

К А Р У С Е Л Ь и К А Р Т О Ф Е Л Ь

общими элементами, т.е. элементами, принадлежащими и первому, и второму множеству, являются буквы: К, А, Р, Е, Л, Ь (их можно было указать и в любом другом порядке).

б) Укажем теперь (в любом порядке) все элементы двух этих множеств, т.е. все элементы принадлежащие хотя бы одному из этих множеств:

К, А, Р, У, С, Е, Л, Ь, Т, О, Ф.

На рисунке 4 в зеленом овале показаны элементы множества букв, из которых состоит слово К А Р У С Е Л Ь, в красном овале – элементы множества букв, из которых состоит слово К А Р Т О Ф Е Л Ь. Общие элементы этих двух множеств, т.е буквы, которые есть в обоих словах, размещены в пересечении внутренних частей этих двух овалов.

У С К А Р Т О Ф

Е Л Ь

Рис. 4

П р и м е р 3.  Задано множество двузначных чисел меньших 16 и множество натуральных чисел не меньших 12 и не больших 21. Укажите для этих множеств: