4.3. Метод аналітичного вирівнювання.
Застосування в аналізі рядів динаміки методів укрупнення інтервалів і ковзної середньої дозволяє виявити тренд (тенденцію) для його опису, але отримати узагальнену статистичну оцінку тренду за допомогою цих методів неможливо. Вирішення цієї більш високого порядку завдання - вимірювання тренда - досягається методом аналітичного вирівнювання.
Основним змістом методу аналітичного вирівнювання в рядах динаміки є те, що основна тенденція розвитку розраховується як функція часу
ŷt = ƒ (ti) (4.4)
Визначення теоретичних (розрахункових) рівнів ŷt виробляється на основі так званої адекватної математичної функції, яка найкращим чином відображає основну тенденцію ряду динаміки. Підбір адекватної функції здійснюється методом найменших квадратів, сутність якого полягає в мінімізації суми квадратів відхилень між емпіричними yi і теоретичними ŷt рівнями:
(Yi - ŷt) 2 = min (4.5)
Найважливішою проблемою, яка потребує свого рішення при застосуванні методу аналітичного вирівнювання, є підбір математичної функції, за якою розраховуються теоретичні рівні тренду. Від правильності вирішення цієї проблеми залежать висновки про закономірності тренду досліджуваних явищ. Якщо вибраний тип математичної функції адекватний основній тенденції розвитку досліджуваного явища в часі, то синтезована на його основі трендова модель може мати корисне застосування при вивченні сезонних коливань, прогнозуванні та інших практичних цілях.
Однією з умов обгрунтованого застосування методу аналітичного вирівнювання в аналізі рядів динаміки є знання типів розвитку соціально-економічних явища в часі, їх основних відмінних ознак. У практиці статистичного вивчення тренда розрізняють наступні еталонні типи розвитку соціально-економічних явищ у часі.
Рівномірний розвиток. Для цього типу розвитку притаманні постійні ланцюгові абсолютні прирости:
(4.6)
Основна тенденція розвитку в рядах динаміки зі стабільними абсолютними приростами відображається рівнянням прямолінійною функції.
(4.7)
де a0 і a1 - параметри рівняння; t - час.
Параметр a0 є коефіцієнтом регресії, визначальним напрям розвитку. Якщо a1> 0, то рівні ряду динаміки рівномірно зростають, а при a1 <0 відбувається їх рівномірне зниження.
Якщо у формулі (4.5) замість ŷt підставити, то отримаємо:
(4.8)
Це функція двох змінних (все і невідомі), яка за певних досягає мінімуму. З цього виразу на основі знань, отриманих в курсі вищої математики про екстремумі функцій n змінних, отримують значення коефіцієнтів.
(4.9)
(4.10)
де n - число моментів часу, для яких були отримані вихідні рівні ряду.
Якщо
замість абсолютного часу вибрати умовний
час таким чином, щоб
,
то записані вирази для визначення
спрощуються:
(4.11)
і
(4.12)
Рівноприскорений (равнозамедленно) розвиток. Цьому типу динаміки властиво постійне в часі збільшення (уповільнення) розвитку. Рівні таких рядів динаміки змінюються з постійними ланцюговими темпами приросту:
(4.13)
Основна тенденція розвитку в рядах динаміки зі стабільними темпами приросту відображається функцією параболи другого порядку:
(4.14)
У формулі (4.9) параметри a0 і a1 ідентичні параметрам, використовуваним у формулі (4.7). Параметр a2 характеризує постійна зміна інтенсивності розвитку (в одиницю часу).
Якщо a2> 0, то відбувається прискорений розвиток, а при a2 <0 йде процес уповільнення зростання.
Розвиток зі змінним прискоренням (уповільненням). Для цього типу динаміки основна тенденція розвитку відображається функцією параболи третього порядку:
(4.15)
У формулі (4.10) параметр a3 відображає зміну прискорення. Якщо a3> 0, то прискорення зростає, при a3 <0 прискорення сповільнюється.
Розвиток по експоненті. Цей тип динаміки характеризує стабільні ланцюгові темпи зростання:
(4.16)
Основна тенденція розвитку в рядах динаміки з постійними темпами зростання відображається показовою функцією:
(4.17)
де a1 - темп зростання (зниження) досліджуваного явища в одиницю часу, тобто інтенсивність розвитку.
Розвиток з уповільненням зростання в кінці періоду. У цього типу динаміки показання ланцюгового абсолютного приросту скорочується в кінцевих рівнях ряду динаміки:
(4.18)
Основна тенденція розвитку в таких рядах динаміки відображається полулогарифмической функцією:
(4.19)
При аналітичному вирівнюванні в рядах динаміки можна застосовувати й інші математичні функції. Так, при вивченні основної тенденції розвитку незадоволеного та реалізованого попиту населення застосовуються
Степенева
функція:
(4.20)
Функція
гіперболи:
(4.21)
Завдання №5. Аналіз основної тенденції розвитку ряду динаміки методом аналітичного вирівнювання.
Умова задачі. За даними про кількість населення м Мінська (див. Рис. 8) провести аналіз основної тенденції розвитку міста.
Хід виконання:
1. У книгу Ряди дінамікі.xls додайте новий лист і перейменуйте його в лист Завдання 5.
2. Створіть таблицю згідно рис.8.
3. Розрахуйте темпи зростання населення м Мінська і абсолютний приріст за часовий період 1991-2001 р.р. ланцюговим методом
4. Розрахуйте середній рівень ряду динаміки, середній темп зростання і середній абсолютний приріст в осередках B14, C14, D14 відповідно.
Рис.8. Дані про чисельність населення.
5. Для аналітичного вирівнювання в даному випадку будемо застосовувати функцію, що відповідає рівномірному розвитку.
6. Для знаходження коефіцієнтів a0 і a1, а також теоретичних рівнів тренду, побудуйте матрицю розрахункових показників згідно рис. 9 (додайте в книгу новий лист і надайте йому ім'я Трендовая модель).
Рис.9. Матриця розрахункових показників.
7. Оскільки формули (4.11 і 4.12) для розрахунку коефіцієнтів a0 і a1 отримані при, то поступають таким чином: рівень, що стоїть в середині ряду (1996 г.) приймається за умовний початок відліку, тоді дати, які стоять вище цього рівня, позначаються натуральними числами зі знаком «мінус», а нижче - зі знаком «плюс».
8. Розрахуйте моменти часу в стовпці D і твір рівнів ряду динаміки yi на моменти часу ti в стовпці Е.
9. У рядку Разом розрахуйте,,,.
10. В осередках А21 і B21 розрахуйте коефіцієнти рівняння a1 і a0 за формулами 4.12 і 4.11.
11. Перевірте правильність розрахунків за допомогою функції ЛИНЕЙН в осередках А23 і B23.
12. Порівняйте отримані результати з рис. 10.
Рис.10. Коефіцієнти рівняння.
13. Запишіть отримане рівняння прямолінійної функції в комірці А25.
14. Параметр a1 показує, що чисельність населення м Мінська в 1991-2001 р.р. зросла в середньому на 4510 осіб рік.
15. На основі отриманої моделі знайдіть теоретичні рівні ряду динаміки. Для цього в комірці F3 запишіть формулу
для
розрахунку.
.
16. Розрахуйте решта теоретичні рівні ряду динаміки в стовпці F.
17. Розрахуйте суму теоретичних рівнів ряду динаміки в комірці F14, порівняйте отриманий результат із сумою емпіричних рівнів.
18. Побудуйте в одних координатних осях графіки емпіричних рівнів і теоретичних рівнів ряду динаміки.
19. Додайте лінію тренда для графіка емпіричних рівнів, встановіть прапорець «Показати рівняння на діаграмі».
20. Проаналізуйте отримані результати і зробіть висновки.