Лабораторна робота №8

Тема: Гармонійний аналіз часового ряду.

Мета заняття:

• На основі вихідних даних побудувати кореляційне поле часового ряду та визначити вид залежності.

• Знайти оцінки параметрів лінії регресії по даній стохастичній залежності.

• Оцінити адекватність моделі статистичним даним з ймовірністю Р=0,95.

• З ймовірністю Р=0,95 визначити наявність автокореляції в залишках.

У випадку наявності в залишках невиявленої залежності, визначити:

• форму залежності;

• невідомі коефіцієнти у моделі та їх значущість з ймовірністю Р=0,95;

• періодичну складову.

• Включивши періодичну складову у модель тренда, визначити наявність автокореляції у залишках для отриманої сумарної моделі.

• З ймовірністю Р=0,95 визначити адекватність отриманої моделі експериментальним даним.

Хід роботи

1. Завантажити програму excel.

2. С формувати таблицю вихідних даних, заповнивши діапазон комірок А1:С13 (рис. 1).

3. За допомогою майстра побудови діаграм побудувати кореляційне поле даної статистичної вибірки (див. рис.2)

По виду кореляційного поля ( так як з ростом Т - Y в основному зменшується) припускається наявність гіперболічної залежності.

4. Як модель залежності може бути прийнята гіперболічна крива функції .

5. Приведемо модель до лінійного виду шляхом заміни . Тоді відповідно до МНК для лінійної залежності Y=a+bZ оцінка параметрів рівняння визначаються за формулами: , де n - об’єм вибірки.

6. Виконаємо допоміжні розрахунки:

- значення y*z знайти у діапазоні D2: D13;

- значення z² знайти у діапазоні Е2: Е13;

- значення 1/T знайти у діапазоні F2: F13;

- значення 1/T² знайти у діапазоні G2: G13.

- значення знайти у комірці I1, використовуючи вбудовану функцію СУММ або Автосумму;

- значення знайти у комірці С14;

- значення знайти у комірці А14);

- значення знайти у комірці I2;

- значення - у комірці I3.

(Формули ввести самостійно).

7. Знайдемо значення оцінки параметра b у комірці I5: =(I4*D14-C14*A14)/(I4*I2-I3).

8. Для обчислення значення оцінки параметра а знайдемо:

- середнє значення для Y у комірці I6, використовуючи вбудовану функцію СРЗНАЧ;

- середнє значення для Z у комірці I7.

9. Знайдемо значення оцінки параметра а у комірці I8:=I6-I5*I7.

10. У стовпці J обчислимо розрахункове значення для Y_розр. Для цього у комірку J2 введемо формулу J2:=$I8$+$I5$/B2, закріпивши при цьому абсолютні посилання за комірками I8 й I5. Використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у діапазон J3: J13.

11. Значення (y-y_розр)², , , розрахуємо у стовпцях K, L, M відповідно (формули ввести самостійно).

12. Обчислимо S_b за формулою: , де Для цього:

- у комірці I9 обчислимо S²_ост I9: =K14/(I4-2);

- у комірці I10 обчислимо S I10:= КОРІНЬ(I9);

- у комірці I11 обчислимо S_b I11:=КОРІНЬ(I4/((I4*G14)-(F14)^2))*I10 (рис.1).

Оцінимо параметр b на значущість відмінності від нуля за критерієм Стьюдента.

13. Обчислимо розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою у комірці В17:=I5/I11.

14. У комірці В16 знайдемо табличне значення критерію Стьюдента, використовуючи вбудовану функцію СТЬЮДРАСПОБР (ймовірність 0,05; число ступенів вільності k=n=m-1=12-2=10).

15. Зробимо висновки.

Адекватність моделі перевіримо за критерієм Фішера.

Розрахункове значення критерію обчислимо за формулою: , де R – коефіцієнт кореляції, якій знаходиться за формулою: .

16. Обчислимо значення R² у комірці I12:=1-(К14/L14), потім у комірці I13 знайдемо R - I13:=КОРІНЬ(I12).

17. Знайдемо розрахункове значення критерію Фішера у комірці B18: =(I12/(1-I12))*((I4-I14-1)/(I14)).

18. Табличне значення критерію Фішера обчислимо у комірці В19 за допомогою вбудованої функції FРАСПОБР (ймовірність 0,05; число ступенів вільності k₁=m=1 k₂=n-m-1=12-2=10) (рис.1).

19. Зробимо висновки про адекватність моделі.

Для перевірки правильності моделі визначимо наявність автокореляції у залишках з використанням критерію фон Неймана.

20. Розрахункове значення критерію обчислимо за формулою: , де U_t – значення залишків, тобто :

• розрахуємо значення U_t у діапазоні С17:С28. Для цього у комірку C17 введемо формулу C17:=A2-J2; використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у заданий діапазон;

• розрахуємо значення U_t-U_t-1 у діапазоні D18:С28. Для цього у комірку D18 введемо формулу D18:=C18-C17; використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у заданий діапазон;

• розрахуємо значення U_t² у діапазоні Е17:Е28. Для цього у комірку Е17 введемои формулу E17:=(C17)^2; використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у заданий діапазон;

• розрахуємо значення (U_t-U_t-1)² у діапазоні DF18:F28. Для цього у комірку F18 введемо формулу F18:=(D18)^2; використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у заданий діапазон;

• знайдемо суми цих стовбців у комірках С29, D29, Е29 та F29 відповідно.

21. О бчислимо у комірці I17 розрахункове значення критерію фон Неймана I17:=(I4*F29)/((I4-1)*E29) (рис.3).

22. У комірках G17 та H17 знайдємо Q_L й Q_U – табличні критичні значення для критерію фон Неймана, (Q_L=1,22, Q_U=3,49).

23. Зробимо висновки про наявність автокореляції злишків.

24. У діапазоні А46:Е46 запишемо остаточну модель (рис.4)

Подальші розрахунки зробимо з метою обчислення коефіцієнтів гармонійних коливань.

25. Виділимо періодичну складову. Для цього при Т=12 розрахуємо коефіцієнти:

26. Знайдемо проміжні величини, використовуючи вбудовані функції COS, SIN, ПИ:

- (А32:=COS(ПІ()*В2/6)),

- (В32:=С17*А32),

- (С32: =SIN(ПІ()*В2/6)),

- (D32:=C17*C32),

- (E32:=COS(ПІ()*В2/3)),

- (F32:=C17*E32),

- (G32:=SIN(ПІ()*В2/3)),

- (H32: =C17*G32) (рис.4).

27. Беремо дві гармонії К=1,2 та обчислимо коефіцієнти гармонійних коливань у відповідних комірках: A50:=0, B50:=B44/6, C50:=D44/6, D50:=F44/6, E50:=H44/6.

28. Розрахуємо квадрати амплітуд коливань за формулою: . Значення R₁² розмістимо у комірці F50:=(B50)^2+(C50)^2; значення R₂² - у комірці G50:=(D50)^2+(E50)^2.

Перевіримо ці амплітуди на значимість від нуля. Для цього:

29. О бчислимо

,

у комірці H50:=K44/11.

Знайдемо для кожного R_к статистику Фішера за формулами: (J49:=2*H50/F50), (J50:=2*H50/G50), табличне значення критерію Фішера F_кр обчислимо у комірці J51 за допомогою вбудованої функції FРАСПОБР (ймовірність 0,05; число ступенів вільності k₁=m=1 k₂=n-m-1=12-2=10) (рис.5).

30. Зробити висновки.

31. Розрахуємо P₁(t) у комірці I32 =$B$50*A32+$C$50*C32 (при введенні формули використовуємо абсолютне посилання на комірки В50 і С50). Використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у діапазон I33:I43.

32. Розрахуємо у комірці J32:=J2+I32. Використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у діапазон J33:J43.

33. Розрахуємо ( )² у комірці К32:=(А2-J32)^2. Використовуючи операцію автозаполнення, скопіювати формулу у діапазон К33:К43.

34. Знайдемо суми цих стовбців у комірках I44, J44; та К44 відповідно (рис.6).

35. Запишемо рівняння тренда з періодичної складовою у діапазоні А53:К53 (рис.5).

Перевіримо модель з періодичної складовою на адекватність. Для цього:

36. Знайдемо у комірці А57:=(E29-0,5*(F50+G50))/6.

37. Розрахуємо S_y² у комірці В57, використовуючи вбудовану функцію ДИСП (діапазон А2:А13).

38. Обчислимо у комірці С57:=В57/А57.

39. Табличне значення знайдемо за допомогою вбудованої функції FРАСПОБР у комірці D57 (рис.5).

40. Підвести підсумки лабораторної роботи і зробити висновки.

41. Зберегти книгу у своїй робочій папці під ім'ям Лаб.8.