Вычисление ранга матрицы
При вычислении ранга разрешается применять все 6 видов преобразований. Следует иметь в виду, что после проведения каждого ЭП строк или столбцов получается матрица, эквивалентная предыдущей относительно ЭП, но, вообще говоря, отличная от неё. Поэтому знак равенства между матрицами ставить нельзя.
Общая схема вычисления ранга матрицы такова:
1) Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг равен 0 и вычисление ранга заканчивается.
2) Если в матрице есть ненулевой элемент , то переходим к матрице, имеющей 1-упрощенный вид. Затем получаем матрицы, имеющие 2-, 3-,..,k-упрощенный вид, пока это возможно.
3) Если матрицу, имеющую k-упрощенный вид, получить удалось, а матрицу, имеющую (k+1)-упрощенный вид, получить невозможно, то ранг исходной матрицы равен k.
Пример. Вычислить ранг матрицы
Решение:
Получить из этой матрицы матрицу 3-упрощенного вида нельзя. Следовательно, ранг исходной матрицы равен 2.
Нахождение обратной матрицы
При нахождении обратной матрицы разрешается применять только три первых вида ЭП. Преобразования столбцов не допускаются. Так же, как и при вычислении ранга матрицы, после проведения каждого ЭП строк получается матрица, эквивалентная предыдущей относительно ЭП, но, вообще говоря, отличная от неё. Поэтому знак равенства между матрицами ставить нельзя.
Общая схема вычисления обратной матрицы такова:
Имеется квадратная матрица A порядка n , определитель которой отличен от 0 (только для таких матриц существуют обратные).
1) Приписываем к ней справа единичную матрицу порядка n. В результате получаем матрицу размера n 2n
2) Используя только ЭП строк, переходим к матрице, имеющей 1-упрощенный вид. Затем получаем матрицы, имеющие 2-, 3-,..,n-упрощенный вид. Это возможно, потому что определитель исходной матрицы не равен 0.
В итоге получаем матрицу, первые n столбцов которой образуют единичную матрицу, а остальные n столбцов – матрицу обратную исходной.
Пример Найти обратную матрицу для матрицы
Решение:
Приписываем справа к матрице A единичную матрицу третьего порядка, а затем приводим полученную матрицу к 3-упрощенному виду, используя только ЭП строк.
Обратная матрица
Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными.
a11 x1+a12 x2+...+a1n xn=b1
a21 x1+a22 x2+...+a2n xn=b2
.....................................
am1 x1+am2 x2+...+amn xn=bm
Строим расширенную матрицу системы
.
В первых n столбцах матрицы A* расположена матрица A системы уравнений, а справа к матрице A приписан столбец свободных членов.
При решении системы разрешается применять только четыре первых вида ЭП. Причем перестановка столбцов допускается только для первых n столбцов матрицы A* - столбец свободных членов переставлять нельзя.
Общая схема решения такова:
1) Используя только указанные ЭП, переходим к матрице, имеющей 1-упрощенный вид. Затем получаем матрицы, имеющие 2-, 3-,..,k-упрощенный вид, пока это возможно.
2) По полученной матрице
строим систему уравнений, эквивалентную исходной.
x1+a’1 k+1 xk+1+...+a’1 n xn=b’1
x2+a’2 k+1 xk+1+...+a’2 n xn=b’2
.....................................
xk+a’k r+1 xk+1+...+a’k n xn=b’k
0=b’k+1
0=b’k+2
.........
0=b’m
Следует иметь в виду, что если при получении матрицы, имеющей k- упрощенный вид, i-й и j -й столбцы были переставлены, то при построении новой системы уравнений следует поменять местами неизвестные xi и xj . И так следует поступать для каждой перестановки столбцов.
Если хотя бы один из свободных членов b’k+1, b’k+2,..., b’m отличен от 0, то система уравнений несовместна.
Если b’k+1 = b’k+2 =...=b’m = 0, то система совместна. Удаляем последние m-k уравнений и получаем общее решение системы уравнений.
x1 =b’1 – ( a’1 k+1 xk+1+...+a’1 n xn)
x2=b’2 – (a’2 k+1 xk+1+...+a’2 n xn)
.....................................
xk =b’k – (a’k r+1 xk+1+...+a’k n xn)
Неизвестные x1, x2,..., xk называются базисными, xk+1, xk+2,..., xn - параметрическими. Заметим, что ранг матрицы системы уравнений равен k, количество базисных неизвестных равно k, а количество параметрических неизвестных - n-k.
Подставив вместо параметрических неизвестных xk+1, xk+2,..., xn произвольные значения Ck+1, Ck+2,..., Cn , получим общее решение системы уравнений.
x1 =b’1 – a’1 k+1Ck+1 – ...– a’1 nCn
x2=b’2 – a’2 k+1Ck+1–... – a’2 nCn
.....................................
xk =b’k – a’k r+1Ck+1 –... – a’k nCn
xk+1= Ck+1
xk+2= Ck+2
........
xn = Cn
В матричном виде общее решение выглядит следующим образом:
Если система уравнений является однородной, т.е. столбец свободных членов - нулевой, то общее решение системы уравнений в матричном виде будет выглядеть следующим образом:
А совокупность решений однородной системы уравнений, полученная подстановкой вместо одной из произвольных констант единицы, а вместо остальных произвольных констант – нулей, является фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений.
В общем случае она выглядит так:
,
,...,
Пример 1. Решить систему уравнений:
x1 + x2 + x3 =0
6x1 +6x2 + 7x3 + 8x4=6
– x3 + 4x4=6
3x1 + 3x2 + 3x3 + 4x4=1
Решение:
Строим расширенную матрицу системы и приводим ее к k-упрощенному виду.
Строим по матрице систему уравнений, учитывая новый порядок неизвестных:
x1 + x2 = 2
x3 = –2
x4 = 1
0 = –3
Система несовместна.
Пример 2. Решить систему уравнений:
x1 +2x2 +4x3 =0
3x1 +10x2 + 8x3 + 8x4=4
–x1 –6x2 – 8x4= – 4
-x2 + x3 – 2x4=–1
Решение:
Строим расширенную матрицу системы и приводим ее к k-упрощенному виду.
Строим по матрице систему уравнений, учитывая, что порядок неизвестных не изменился:
x1 + 6x3 –4x 4 = – 2
x2 – x3 +2x 4 = 1
0=0
0=0
Система совместна.
Неизвестные x1, x2 являются базисными, а неизвестные x3 , x4 – параметрическими. Ранг матрицы системы уравнений равен 2, количество базисных неизвестных равно 2, а количество параметрических неизвестных -
4 – 2=2.
Подставив вместо параметрических неизвестных x3 , x4 произвольные значения C3, C4, получим общее решение системы уравнений.
x1 = – 2 –(6C3 –4C4 )
x2=1 – (– C3 +2C4 )
x3 = C3
x4= C4
В матричном виде общее решение выглядит следующим образом:
Пример 3. Решить систему уравнений и найти фундаментальную систему решений:
x1 – x2 –x3 + x4 = 0
x1 + 2x2 – 2x3 – x4 = 0
2x1 – x2 – 3x3 +2x4 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 – 6x4 = 0
Решение:
Строим расширенную матрицу системы и приводим ее к k-упрощенному виду.
Строим по матрице систему уравнений:
x1 + x4 = 0
x2 – x4 = 0
x3 – x4 = 0
0= 0
Неизвестные x1, x2, x3 являются базисными, а неизвестная x4 - параметрической. Ранг матрицы системы уравнений равен 3, количество базисных неизвестных равно 3, а количество параметрических неизвестных - 4 – 3=1.
Подставив вместо параметрической неизвестной x4 произвольное значение C4, получим общее решение системы уравнений.
x1 =– C4
x2=C4
x3 =C4
x4= C4
В матричном виде общее решение выглядит следующим образом:
Фундаментальной системой решений является система из одного решения
Пример 4. Решить систему уравнений и найти фундаментальную систему решений:
x1 +2 x2 –3x3 + x4 = 0
2x1 – x2 – x3 +2x4 = 0
3x1 +x2 – 4x3 +3x4 = 0
–x1 + 3x2 –2x3 – x4 = 0
Решение:
Строим расширенную
матрицу системы и приводим ее к
k-упрощенному
виду.
Строим по матрице систему уравнений:
x1 – x3 + x4 = 0
x2 – x3 = 0
0= 0
0= 0
Неизвестные x1, x2 являются базисными, а неизвестные x3 , x4 – параметрическими. Ранг матрицы системы уравнений равен 2, количество базисных неизвестных равно 2, а количество параметрических неизвестных -
4 – 2=2.
Подставив вместо параметрических неизвестных x3 , x4 произвольные значения C3, C4, получим общее решение системы уравнений.
x1 = C3– C4
x2= C3
x3 = C3
x4= C4
В матричном виде общее решение выглядит следующим образом:
Подставляя вместо одной из произвольных констант единицу, а вместо остальных произвольных констант – нули, получаем фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений состоит из двух решений:
