Методические указания предназначены для студентов международного университет природы, общества и человека “Дубна”, изучающих линейную алгебру в рамках общего курса математики. Они должны помочь студентам лучше усвоить теоретический и практический материал по линейной алгебре. В каждом разделе приводятся примеры решения типовых задач. В конце работы предлагается большое количество вариантов индивидуальных заданий по рассматриваемым темам.
Введение
Настоящая работа посвящена изучению методов решения следующих задач из курса линейной алгебры:
1. Вычисление определителей.
2. Нахождение ранга матрицы.
3. Нахождение обратной матрицы.
4. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений.
Для решения этих задач разработаны различные методы , но среди них особое место занимает метод элементарных преобразований строк и столбцов. Различными модификациями этого метода может быть решена каждая из перечисленных задач.
Обоснование решения указанных задач методом элементарных преобразований изложено в указанной ниже литературе..
Цель работы
1. Изучить метод элементарных преобразований строк и столбцов матрицы
2. Приобрести практические навыки в решении перечисленных задач.
Основные понятия и определения
Матрицей размера
m
n
называется совокупность mn
чисел, расположенных в виде прямоугольной
таблицы из m
строк и n
столбцов.
Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Матрица 
имеет k-упрощенный
вид (k
0)
, если a11=
a22=
a33=...=
akk
=1, а все
остальные элементы первых k столбцов равны 0.
В частности, квадратная матрица порядка n, имеющая n-упрощенный вид называется единичной.
Элементарными преобразованиями (ЭП) строк и столбцов матрицы называются следующие преобразования:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на число, отличное от нуля;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число.
4) перестановка столбцов;
5) умножение столбца на число, отличное от нуля;
6) прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторое число.
Основным звеном метода элементарных преобразований является переход от матрицы, имеющей k-упрощенный вид, к матрице, имеющей (k+1)-упрощенный вид.
Опишем этот переход подробнее.
Пусть матрица
имеет k-упрощенный вид.
Возможны три варианта:
1) a i j = 0 для всех i>k ,j>k. В этом случае перейти к матрице, имеющей (k+1)-упрощенный вид невозможно.
2) a k+1 k+1 отличен от 0. В этом случае умножаем (k+1)-ю строку на (a k+1 k+1) –1 (или, говоря иначе, делим (k+1)-ю строку на
a
k+1
k+1).
Затем для
каждого i
k+1
прибавляем к
i-той
строке (k+1)
-ю строку, умноженную на (–a
i
k+1
). Полученная матрица имеет (k+1)-упрощенный
вид.
3) a k+1 k+1 = 0, но существуют такие p>0, q>0 , что a k+p k+q отличен от 0. Переставляем (k+1)-ю строку с (k+p) -ой строкой, а затем переставляем (k+1)-ый столбец с (k+q)-ым столбцом, после чего получаем случай 2).
Теперь перейдем к рассмотрению решения указанных выше задач.
Вычисление определителей
При вычислении определителей разрешается применять все 6 видов преобразований. Следует иметь в виду, что:
1) при преобразованиях 1 и 4 определитель меняет знак;
2) при преобразованиях 2 и 5 значение определителя умножается на то число, на которое умножается строка или столбец;
3) при преобразованиях 3 и 6 определитель не изменяется.
Общая схема вычисления определителя такова:
1) Если все элементы первого столбца равны нулю, то определитель равен нулю и вычисление определителя заканчивается.
2) Если в первом столбце есть ненулевой элемент, то перестановкой строк его можно перенести в первую строку. При этом перед определителем меняется знак.
3) Если a11 не равен 0, то умножаем первую строку на (a11 )-1. При этом перед определителем пишем множитель a11.
4) Для каждого i 1 прибавляем к i-той строке 1 -ю строку, умноженную на (–a i 1 ). Полученная матрица имеет 1-упрощенный вид.
5) Разлагаем определитель по первой строке и сводим задачу к вычислению определителя матрицы меньшего порядка.
6) Повторяя шаги 1-5) несколько раз, мы сводим задачу к вычислению определителей 2 или 3 порядка, которые можно вычислить по известным формулам.
Пример. Вычислить определитель:
Решение:
