1.3. Відношення та відображення.

Декартовим (прямим) добутком множин і (записують ) називається множина всіх пар , в яких перший компонент належить множині , а другий – множині , тобто . Аналогічно визначається декартовий добуток будь-якої скінченої кількості множин. Декартів добуток множини на себе разів, тобто множину називають -м декартовим степенем множини (позначають ). -арним відношенням на множинах називається будь-яка підмножина декартового добутку цих множин, тобто . Якщо набір елементів належить відношенню , то стверджують, що елементи знаходяться у відношенні . -арне відношення на різних множинах називають ще відповідністю. Під -арним відношенням на множині розуміємо підмножину -го декартового степеню множини . Найбільш часто розглядають відношення у випадку, коли (унарні відношення), та коли (бінарні відношення).

Існує кілька способів задання бінарних відношень. Проілюструємо ці способи на прикладі відношення , де , і ( ) тоді і лише тоді, коли є дільником .

1.Будь-яке відношення може бути задане у вигляді списку, елементами якого є пари, з яких складається відношення.

2. Бінарне відношення може бути задане за допомогою матриці ( ), рядки якої відповідають елементам множини , стовпці – елементам множини . Елемент цієї матриці відповідає парі , причому , якщо і , якщо .

3. Бінарне відношення може бути задане графічно. Зобразимо точками всі елементи множин і . Якщо пара належить відношенню , то з точки до точки проводимо дугу зі стрілкою (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Графічне задання бінарного відношення.

Бінарні відношення, як і множини, можуть також задаватися рекурсивною вказівкою та властивостями пар елементів, що належать відношенню.

Нехай далі - деяке бінарне відношення. Введемо наступні означення.

Областю визначення відношення (його першою проекцією ) є всі такі елементи , для яких існує хоч один такий елемент , що . Областю значень відношення (його другою проекцією ) є всі такі елементи , для яких існує хоч один такий елемент , що . Відношення називається всюди визначеним, якщо , і сюр’єктивним (або відношенням на множину ), якщо . Якщо ж , то відношення називається частковим. Образом елемента є множина всіх таких елементів , що (позначається ). Прообразом елемента є множина всіх таких елементів , що (позначається ). Відношення називається функціональним, якщо образом кожного елементу є лише один елемент з множини , та ін’єктивним, якщо прообразом кожного елементу є лише один елемент з множини . Відношення, яке є одночасно сюр’єктивним та ін’єктивним називається бієктивним (взаємно однозначним). Якщо є всюди визначеним функціональним відношенням, то воно називається відображенням множини в множину і позначається , або .

Розглянемо деякі частинні випадки відношень. Нехай задане бінарне відношення . Якщо , то таке відношення називають повним, якщо ж , то називають порожнім. Якщо відношення містить всі можливі пари вигляду , де , то таке відношення називається тотожнім і позначається або .

Для бінарних відношень існують такі операції.

1. Відношення називається оберненим до відношення , якщо тоді й тільки тоді, коли .

2. Нехай та - деякі бінарні відношення. Композицією (добутком) цих відношень є відношення , що складається з усіх пар , , , для яких існує такий елемент , що виконуються умови та .

Матриця відношення утворюється як добуток матриць відношень та із подальшою заміною відмінних від одиниці елементів на одиниці. Проілюструємо це на наступному прикладі.

Приклад 1.2. Нехай на множинах , та задані відношення та : , . Тоді . У матричному вигляді композиція утворюється таким чином:

. ■

Нехай далі . Це відношення можна класифікувати за такими властивостями.

1. Відношення називається рефлексивним, якщо для будь-якого виконується . Відношення називається антирефлексивним, якщо для всіх виконується . Якщо відношення не є ані рефлексивним, ані антирефлексивним, воно називається нерефлексивним.

2. Відношення називається симетричним, якщо для будь-якої пари виконується . Відношення називається асиметричним, якщо для всіх виконується . Відношення називається антисиметричним, якщо для всіх виконується тоді і лише тоді, коли . Якщо відношення не є ані симетричним, ані асиметричним, ані антисиметричним воно називається несиметричним.

3. Відношення називається транзитивним, якщо для будь-яких пар виконується . Відношення називається антитранзитивним, якщо для всіх будь-яких пар виконується . Якщо відношення не є ані транзитивним, ані антитранзитивним воно називається нетранзитивним.

Розглянемо основні класи бінарних відношень.

1. Відношення називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне та транзитивне. Важлива властивість будь-якого відношення еквівалентності полягає в тому, що воно розбиває множину на неперетинні підмножини, які називаються класами еквівалентності. Якщо множина скінченна, то розбиття її на класи еквівалентності відбувається таким чином. Виберемо елемент . До класу входять такі та лише такі елементи , що . Якщо , то виберемо з такий елемент , що не належить класу і утворимо клас з тих і лише тих елементів , що . Якщо , то розбиття зроблено, в протилежному випадку виберемо з такий елемент , що не належить класам та і в той же самий спосіб утворимо клас . Цю процедуру будемо продовжувати доти, доки в не залишиться жодного елемента, що не входить до одного з попередніх класів . Оскільки множина скінченна, то процедура ця завершується. Вийде система класів , яка називається фактор-множиною множини за відношенням еквівалентності (позначають ). Ця система класів є системою класів еквівалентності та має такі властивості:

а) класи попарно не перетинаються;

б) будь-які елементи і з одного класу знаходяться у відношенні ;

в) будь-які елементи і з різних класів не знаходяться у відношенні .

2. Відношення називається відношенням часткового (нестрогого) порядку (позначається ), якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне. Множина, на якій задане відношення часткового порядку називається частково упорядкованою. Елементи називаються порівнюваними за відношенням , якщо виконується або . Частково упорядкована множина, в якій будь-які два елементи порівнювані, називається лінійно (або повністю) упорядкованою множиною.

3. Відношення називається відношенням часткового (строгого) порядку (позначається ), якщо воно антирефлексивне, асиметричне та транзитивне. Загальновживаним прикладом відношення порядку є так званий лексикографічний порядок, який визначається таким чином. У довільному скінченому алфавіті фіксуємо деяким чином лінійний порядок, наприклад, покладемо, що . Тоді два слова однакової довжини , складені з літер алфавіту порівнюються за таким правилом: , якщо для деякого , в той час як , ,…, , тобто порівняння відбувається за першим зліва символом, який є різним у цих словах. Цей порядок можна поширити на випадок, коли слова мають різну довжину. До алфавіту додають порожній символ і вважають, що для будь-якого . При порівнянні двох слів різної довжини спочатку слово меншої довжини доповнюється справа такою кількістю порожніх символів , щоб зрівнятися за довжиною з другим словом, а потім ці слова порівнюють як слова однакової довжини. Цей порядок лежить в основі впорядкування всіх словників, енциклопедій, списків тощо.

4. Відношення називається толерантним, якщо воно рефлексивне та симетричне.

Визначимо поняття замикання відношення. Еквівалентним (рефлексивним, симетричним, транзитивним, толерантним) замиканням відношення є найменше відношення еквівалентності (рефлексивне, симетричне, транзитивне, толерантне відношення), що містить у собі (позначають ) . Так, еквівалентне замикання відношення створюють шляхом додавання до пар за такими правилами:

а) до пар, що входять до додають пари з тотожного відношення ;

б) якщо пара то до додають пару ;

в) якщо пара то до додають пару .

За допомогою операцій (б) та (в) додають пари до тих пір, поки це можливо.

Інші види замикань (рефлексивне, симетричне, транзитивне, толерантне) створюються аналогічно із використанням відповідних операцій.

Завдання до розділу 1.

1.1. Навести приклади множин , які задовольняють умовам:

1. .	5. .
2. .	6. .
3. .	7. .
4. .	8. .

1.2. Для заданої множини знайти її булеан:

1. .	5. .
2. .	6. .
3. .	7. .
4. .	8. .

1.3. Нехай – універсальна множина, , , , . Визначити, з яких елементів складається задана множина :

1. .	5. .
2. .	6. .
3. .	7. .
4. .	8. .

1.4. Довести або спростувати правильність рівностей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

1.5. Для заданих множин , , , визначити:

1. .	5. .
2. .	6. .
3. .	7. .
4. .	8. .

1.6. Нехай задано множини та відношення між та :

;

;

,

а також відношення між та :

;

;

.

Визначити відношення:

1. .	5. .
2. .	6. .
3. .	7. .
4. .	8. .

1.7. Нехай задано множини , та відношення між та . Визначити, чи є всюди визначеним, функціональним, ін’єктивним, сюр’єктивним, бієктивним. Побудувати матрицю та граф .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

1.8. Навести приклад відношення, що задане на множині натуральних чисел, яке є:

1. всюди визначеним, неін’єктивним та сюр’єктивним;

2. не функціональним, несюр’єктивним та ін’єктивним;

3. функціональним, неін’єктивним і несюр’єктивним;

4. всюди визначеним, нефункціональним, ін’єктивним і несюр’єктивним;

5. всюди визначеним, нефункціональним, ін’єктивним і сюр’єктивним;

6. функціональним, неін’єктивним і сюр’єктивним;

7. всюди визначеним, функціональним, ін’єктивним і несюр’єктивним;

8. частковим, неін’єктивним і несюр’єктивним.

1.9. Нехай . Для заданого відношення на множині визначити , , , , , , :

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

1.10. Нехай на множині всіх людей задано відношення:

,

.

Описати відношення:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

1.11. На множині задано відношення:

та

Знайти відношення на множині , для якого виконується рівність:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

1.12. Визначити, чи є відношення на множині рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, антисиметричним, транзитивним. Побудувати граф і матрицю відношення .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

1.13. Визначити, чи є відношення на множині цілих чисел рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, антисиметричним, транзитивним.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

1.14. Навести приклад відношення, що задане на множині , яке:

1. не рефлексивне та не антирефлексивне;

2. не симетричне та не антисиметричне;

3. симетричне та антисиметричне;

4. не рефлексивне, симетричне та транзитивне;

5. рефлексивне, не симетричне та не транзитивне;

6. не рефлексивне, антисиметричне та не транзитивне;

7. рефлексивне, симетричне та транзитивне;

8. рефлексивне, антисиметричне та транзитивне.

1.15. Навести приклад таких відношень і на множині , що:

1. і антирефлексивні, а композиція не є антирефлексивним відношенням;

2. і антирефлексивні, а композиція – рефлексивне відношення;

3. і симетричні, а композиція не є симетричним відношенням;

4. і симетричні і композиція – також симетричне відношення;

5. і антисиметричні, а композиція не є антисиметричним відношенням;

6. і антисиметричні і композиція – антисиметричне відношення;

7. і транзитивні, а композиція не є транзитивним відношенням;

8. і транзитивні і композиція – також транзитивне відношення.

1.16. Відношення задане на множині . Побудувати еквівалентне замикання та фактор-множину :

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .