120

ВСТУП

Дискретна математика зародилася у давні часи. Головною її специфікою є (як говорить сама назва) дискретність, тобто антипод неперервності. В широкому розумінні дискретна математика містить такі традиційні сформовані розділи математики, як алгебра, математична логіка, теорія чисел, теорія графів та ряд нових розділів, які стали особливо інтенсивно розвиватись в середині ХХ ст. у зв’язку з появою ЕОМ – теорія автоматів, теорія мов та граматик, теорія алгоритмів тощо.

У більш як 2000-річній історії дискретної математики сучасний період є одним із найінтенсивніших періодів її розвитку. Масове використання персональних комп’ютерів значно розширює сферу прикладних досліджень, у яких все більше застосовується апарат дискретної математики.

Дискретна математика сьогодні є не тільки фундаментом математичної кібернетики, але й важливою ланкою математичної освіти.

Програма дисципліни “Дискретна математика” розрахована на її викладання протягом першого семестру першого курсу. До неї включено такі розділи:

• Множини та відношення.

• Елементи комбінаторики.

• Основи теорії графів. Алгоритми на графах.

Посібник містить теоретичні відомості з прикладами розв’язання задач з цих розділів, а також велику кількість завдань для самостійного розв’язку. Переважна більшість задач є авторськими. Теоретичний матеріал є досить загальновідомим і взятий, в основному, із підручників [Бондаренко, Бардачов, Капітонова] та деяких інших.

ПРОГРАМНИЙ МАТЕРІАЛ З ДИСЦИПЛІНИ „Дискретна математика”

Розділ 1. Множини та відношення.

Поняття множини. Способи задання множин. Геометрична інтерпретація множин. Операції над множинами та їх пріоритет. Тотожні перетворення виразів. Потужність множин.

Поняття відношення. Способи задання відношень. Операції над відношеннями. Властивості бінарних відношень. Відношення еквівалентності. Відношення порядку. Замикання відношень. Функціональні відношення. Відображення.

Розділ 2. Елементи комбінаторики.

Правила суми та добутку. Вибірки, перестановки, розміщення, сполучення. Розміщення та сполучення без повторень та їх властивості. Розміщення та сполучення з необмеженими повтореннями. Перестановки із заданою специфікацією.

Біном Ньютона. Властивості біноміальних коефіцієнтів. Поліноміальна формула. Формула включень та виключень.

Композиції та розбиття. Досконалі розбиття.

Рекурентні співвідношення. Числа Фібоначчі. Розв’язок лінійних рекурентних співвідношень із постійними коефіцієнтами.

Розділ 3. Основи теорії графів. Алгоритми на графах.

Графи, способи задання графів, основні терміни. Ізоморфізм графів. Планарні графи. Критерій планарності графів (теорема Понтрягіна-Куратовського).

Побудова обходів графа в глибину і в ширину. Побудова ейлерового циклу графа. Побудова гамільтонових циклів графа.

Пошук найкоротших відстаней та шляхів у зважених графах. Знаходження остова найменшої ваги. Пошук найбільшої течії в мережі. Розрахунки у мережах.

Розділ 1. Множини та відношення.

1.1. Основні поняття теорії множин.

У повсякденному житті та практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів та ін. Наприклад, сукупність сторінок у книзі, книг у бібліотеці, літер абетки, чисел натурального ряду. На основі інтуїтивних уявлень про подібні сукупності сформувалося математичне поняття множини. Строге визначення поняття множини через більш прості поняття дати важко. Тому приймаємо інтуїтивне означення множини, як деякої сукупності об’єктів, які можна відрізнити один від іншого. Об’єкти, з яких складається множина, називаються її елементами. Множина є коректно визначеною, коли можна встановити, чи є будь-який об’єкт її елементом, чи ні.

Множини позначають великими, латинськими літерами (або літерами з індексами). Елементи множин можуть бути іншими множинами. Зазвичай елементи множин відокремлюються фігурними дужками. Наприклад, запис означає, що множина складається з трьох елементів . Належність елемента множині позначається символом . Для того, щоб показати, що елемент не належить множині, використовують позначення або . Так із зазначеного вище прикладу випливає, що та .

Множина називається скінченною, якщо вона містить скінченне число елементів і нескінченною в протилежному випадку.

Існує кілька способів задання множин.

1. Множину можна задати переліком її елементів. Зрозуміло, що цей спосіб непридатний для задання нескінченних множин. У випадку скінченних множин цей спосіб часто не можна реалізувати на практиці (наприклад, множина всіх китайців на Землі).

2. Множину можна визначити, якщо задати властивості, які мають всі елементи, що належать множині (наприклад, множина всіх натуральних чисел, які діляться на 13).

3.Множина може бути задана рекурсивною вказівкою способу послідовного породження її елементів. В цьому випадку деякі елементи множини задаються явно, а всі інші елементи задаються деяким чином через попередні. Наприклад, визначаємо, що до множини входить конкретна людина , а також всі люди, що колись були його начальниками, а також всі люди, що колись були начальниками його начальників і т.д.

Визначимо основні відношення між множинами. Дві множини і називають рівними (записують ), якщо вони складаються з тих самих елементів. Якщо множини не рівні, це позначається . Число елементів скінченою множини позначають . Множина називається підмножиною множини (записують або ) тоді і лише тоді, коли кожний елемент множини належить множині . Знаки і називаються знаками включення. Зрозуміло, що будь-яка множина є підмножиною самої себе, тобто . Якщо та , то пишуть (або ) і множину називають власною (строгою) підмножиною множини . Знаки і називаються знаками строгого включення. Неважко переконатись, що тоді і лише тоді, коли одночасно виконуються два включення та . Тому перевірка рівності двох множин з великою кількістю елементів або двох нескінченних множин є такою: тоді і тільки тоді, коли з випливає, що та з випливає що .

Для узагальнення вводять також поняття порожньої та універсальної множин. Порожньою називається множина, яка не містить жодного елементу. Така множина позначається символом . Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються у даній задачі. Універсальна множина позначається символом . Універсальна множина є індивідуальною для кожної конкретної задачі і визначається за її умовою. Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини. Множина всіх підмножин множини називається її булеаном і позначається . Якщо множина складається з елементів, то кількість всіх її підмножин дорівнює , тобто .

Введемо важливе поняття потужності множини. Потужністю скінченої множини є кількість її елементів. Для визначення потужності нескінченної множини введемо такі визначення.

Взаємно однозначною (бієктивною) називається така відповідність між множинами і , при якій кожному елементу відповідає один і тільки один елемент , і кожному елементу відповідає один і тільки один елемент . Множини і називаються еквівалентними або рівнопотужними (що записують ~ ), якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність. Множина, рівнопотужна множині натуральних чисел називається зчисленною, а множина, рівнопотужна множині всіх дійсних чисел з інтервалу називається континуальною. Покажемо, що множина натуральних чисел рівнопотужна множині цілих чисел .

Елементу 0 множини поставимо у відповідність елемент 1 множини ; кожному додатному елементу поставимо у відповідність елемент , а кожному від’ємному елементу – елемент . Таким чином кожному елементу множини відповідає один і тільки один елемент множини . Аналогічно, елементу 1 множини поставимо у відповідність елемент 0 множини , кожному парному елементу множини поставимо у відповідність елемент , а кожному непарному елементу множини поставимо у відповідність елемент . Таким чином встановили, що множини та є рівнопотужними.