Правила оцінювання похибки прямих вимірювань

Розглянемо випадок, коли трапилися випадкові похибки. Припустимо, що проведено багаторазові вимірювання деякої величини , наприклад, діаметра зразка, а кількість вимірювань становить . Постає питання – які зі здобутих розмірів варто взяти як найбільш близьке до справжнього (найбільш ймовірного) і як оцінити похибку вимірювань?

Розрахунки при цьому проводяться у наступному порядку:

1. Як найбільш близьке до справжнього значення вимірюваної величини береться середнє арифметичне значення всіх вимірювань:

2. Далі обчислюються випадкові відхилення окремих результатів вимірювання , тобто знаходяться різниці між результатом спостереженні та середнім значенням:

3. Обчислюється середня квадратична похибка результату серії вимірювань, тобто середнє значення:

4. За таблицею залежності коефіцієнти Стьюдента для вибраного значення надійної ймовірності і відповідної кількості вимірювань визначаємо значення цього коефіцієнта. При цьому під надійною ймовірністю розуміємо ймовірність того, що випадкова похибка не перевищує зазначеного нами значення. Наприклад, при коефіцієнті надійної ймовірності із 100 випадкових похибок у 95 випадках випадкова похибка не перевищує визначеного нами значення

5. Знайдене значення коефіцієнти Стьюдента множиться на середню квадратичну похибку цього значення – таким чином знаходиться випадкова похибка результатів прямих вимірювань:

.

6. При проведенні вимірювань можуть одночасно з’являтися як випадкові, так і систематичні похибки. Систематична похибка зазвичай невідома, але відомо, що вона не може бути більшою за інструментальну похибку (у тому випадку, якщо інші джерела систематичної похибки усунуті). В цьому випадку за систематичну похибку приймається значення інструментальної . Тоді загальна похибка визначається за формулою:

.

При конкретних вимірюваннях інструментальна і відносна похибки можуть значно відрізнятися одна від одної. Якщо одна з них у 3 та більше разів більша за іншу, то меншою нехтують.

7. Остаточний результат серії вимірювань записується у вигляді:

Відповідно при цьому відносна похибка результатів вимірювань:

Правила оцінювання похибки непрямих вимірювань

У більшості випадків величина, що нас цікавить, не вимірюється безпосередньо. Вимірюються величини, пов’язані з шуканою величиною певними співвідношеннями, при цьому похибки вимірюваних величин відомі.

Загальні правила обчислення похибок непрямих вимірювань можна отримати тільки за допомогою математичної теорії похибок та методів диференціального числення. формули, за якими обчислюються похибки, наводимо без доведення, та пропонуємо приклади їх застосування.

Нехай шукана величина залежить від кількох величин , що вимірюються безпосередньо та незалежно одна від одної. Залежність від можна подати у вигляді функції:

, (1.1)

при цьому для кожної виміряної величини абсолютні похибки вважаємо відомими та визначеними для однакового значення надійної ймовірності . Тоді абсолютну похибку непрямих вимірювань можна обчислити за формулою:

, (1.2)

де – частинні похідні функції за кожною зі змінних (це означає, що при обчисленні частинної похідної за величиною усі інші вимірювані величини вважаються сталими).

Розрахунок похибок непрямих вимірювань зручніше починати з обчислення відносної похибки. При цьому для багатьох функцій утворюються менш складні вирази для відносної похибки.

За означенням відносна похибка величини, що вимірюється непрямо, .

Тоді з попередньої формули (1.2) випливає

.

Відповідно до правил диференціювання , тому вираз для відносної похибки непрямих вимірювань можна записати наступним чином:

(1.3)

До виразу (1.3) замість частинних похідних від функції входять частинні похідні від логарифма функції. Особливо зручно застосовувати отриману формулу (1.3) для функції вигляду

, (1.4)

де – сталі величини, що можуть бути цілими або дробовими, додатними або від’ємними.

Діставши формулу похибки непрямих вимірювань, визначають значення вимірюваної величини . Для цього у формулу для підставляють середні значення безпосередньо виміряних величин , а далі обчислюють похибку , використовуючи результати оцінки похибки прямих вимірювань .

Остаточний результат вимірювань записується у вигляді

(1.5)

Похибці приписується те саме значення надійної ймовірності що й для прямих вимірювань.

Якщо вимірювання прямих величин проводять одноразово, то при обчисленнях та використовують виміряні значення , а як – інструментальні похибки. Надійну ймовірність при цьому зазначити неможливо.