Решение задачи 4 Запишем разложение по базису заданные вектора , . Используя свойства линейных операции, найдем разложение по базису искомых векторов
На
векторах
и
построен
параллелограмм. По определению суммы
и разности векторов диагонали
параллелограмма равны
и
= (5+0)i+ (0+5)j+(5+5)k=5i+5j+10k
= (5-0)i+(0-5)j+(5-5)k=5i-5j+0k
Для
нахождения длин диагоналей, воспользуемся
формулой
,
если
.
Площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
находим как модуль векторного произведения
.
Векторное
произведение найдем по формуле
,
а Sпарал
=
=
,
тогда
S
пар=
(кв ед)
Решение задачи 5
Находим векторы и :
Длины этих векторов, т.е. длины рёбер и , таковы:
Найдём скалярное произведение векторов
и
косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Отсюда
следует, что
-
тупой угол, равный
.
Это и есть искомый угол между рёбрами
и
.
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов
.
Следовательно,
Объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
.
Вектор
(3,
-2,4).
куб.ед.
Используем способ задания плоскости через три точки:
.
;
.
;
или
6x
Решение задачи 6
Чтобы составить уравнения высоты и медианы, найдем координаты вершин треугольника АВС. Для этого решим 3 системы:
А(3;5) В(-3;3) С(5-8)
Найдем уравнение медианы ВД. По формуле координаты середины Д отрезка АС:
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки
В (х1, у1) и Д (х2, у2)
Подставляя
координаты точек Д(4;
)
и В(-3;3) в уравнение, получим:
или
9х+14у-15=0 – уравнение медианы ВД
Найдем уравнение высоты ВН. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку В (х0;у0) в данном направлении у-у0=k(х-х0). Так как В (-3;3), получаем
у-3=k(х+3).
Чтобы найти k,
воспользуемся условием перпендикулярности
двух прямых
у
А(3;5)
В(-3;3)
Н
х
Д
С(5;-8)
Уравнение
АС: 13х+2у-49=0 или
,
значит
,
тогда
.
Подставляя в уравнение пучка прямых,
получаем у-3=
или 13у-2х-45=0 - уравнение высоты ВН.