Решение задачи 6

; , .

- это неоднородное дифференциальное уравнение 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами .

Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид ,

. Следовательно, - общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

Имеем .

Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Итак, - общее решение.

Найдём частное решение:

.

Итак, найдём частное решение .

Ответ: ; .

Решение задачи 7

Ответ: ; ; ; ; ;

.

Решение задачи 8

Найдем частные производные функции:

,

.

Найдем критические точки функции из системы 

  . Решаем полученную систему по формулам Крамера: , , . Далее, , . Следовательно, (2;-2) – единственная критическая точка.

Далее находим частные производные второго порядка: ,

,

.

Имеем . Значит, в точке (2;-2) имеется экстремум; кроме того, А<0, поэтому (2;-2) – точка максимума.

Находим максимум функции

.

Решение задачи 9

Для решения этой задачи используем формулу сложных процентов:

В результате получаем следующее выражение:

или

отсюда ,

извлекая корень третьей степени из левой и правой частей, получим:

или .

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим: , отсюда .

Ответ: на 57,7 %

Решение задачи 10

а)

Это положительный числовой ряд, можно применить один из пяти достаточных признаков сходимости.

Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Т.к. общий член ряда , то, заменяя в выражении n – го члена n на n+1, находим

. Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при

.

Итак, , следовательно, ряд сходится.

б)

Это знакочередующийся ряд. Воспользуемся признаком Лейбница. Для этого нам надо показать, что

1. члены ряда по модулю убывают, т.е.

2. 

Проверим эти условия:

1. 

, т.е. первое условие выполняется.

2) выполняется второе условие.

Итак, условия 1, 2 выполняются, следовательно, ряд сходится.

Выясним, сходится он абсолютно или условно, для этого исследуем ряд, составленный из модулей : - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ряд сходится исходный ряд сходится абсолютно.

Ответ: а) ряд сходится; б) ряд сходится абсолютно.

Решение задачи 11

Решение: Это степенной ряд в точке х=4, где .

Радиус сходимости находим по формуле .

Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством или .

Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой ряд

- знакочередующийся числовой ряд.

Очевидно, ряд расходится, т.к. , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости х=0 не принадлежит области сходимости.

При получаем числовой ряд . Этот ряд тоже расходится, т.к. х=8 не принадлежит области сходимости.

Ответ: радиус сходимости равен 4; интервал сходимости .

Решение задачи 12

Вычислить с точностью до 0,001

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

=

Подставим в интеграл вышеприведённое разложение подынтегральной функции и, почленно интегрируя в указанных пределах, получаем:

.

Уже третий член меньше 0,001. Поэтому для вычисления приближённого значения интеграла с требуемой точностью достаточно ограничиться первыми двумя членами ряда:

.

Ответ: -0,19.