Вариант 10

1. Найти неопределённый интеграл и проверить результат дифференцированием

а) ; б) ; в) .

2. Найти определённые интегралы: а) ; б) .

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

4. Найти несобственный интеграл .

5. Указать типы дифференциальных уравнений 1-ого порядка и найти их общее решение: а) ; б) .

6. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: ; .

7. Найти частные производные 1 и 2 порядка для функций а) ; б) .

8. Исследовать на экстремум .

9. Прирост продукции завода в первый год составил 10 %. Каков должен быть прирост продукции во второй год, чтобы за 2 года ежегодный прирост составил 20 %?

10. Исследовать на сходимость числовые ряды: а) ; б) .

11. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда: .

12. Приближённо вычислить интеграл , взяв три члена разложения функции .

Демонстрационный вариант контрольной работы №2

Задание №1. Найти неопределённые интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

а) , б) , в)

Задание №2. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

.

Задание №4. Найти несобственный интеграл .

Задание № 5. Указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: а) ; б) .

Задание №6.. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; , .

Задание №7. Найти частные производные первого и второго порядка функций:

а) б) .

Задание №8. Исследовать на экстремум функцию .

Задание №9. Число 21,6 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 6,4. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили число?

Задание №10. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

Задание № 11. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Задание №12. Вычислить приближённо определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точностью до 0,001.

Решение демонстрационного варианта контрольной работы № 2 Решение задачи 1

а)

.

б) I способ: подведение под знак дифференциала

.

II способ: метод подстановки

=

Проверим результат дифференцированием:

. Получили подынтегральную функцию, что и требовалось доказать (ч.т.д.).

в) = для вычисления интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям

Проверим результат дифференцированием:

. Получили подынтегральную функцию, ч.т.д.

Ответ: а) , б) , в) .

Решение задачи 2

а)

Решение.

.

б)

Решение.

.

Ответ: а) , б) .

Решение задачи 3

Сделаем чертёж фигуры:

Ответ: ; см. рис..

Решение задачи 4

Решение. По определению несобственного интеграла находим:

.

Ответ: .

Решение задачи 5

а) - это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные, т.е. получим уравнение .

Интегрируем обе части полученного уравнения

- общее решение.

б) - это линейное дифференциальное уравнение 1 – ого порядка.

Первый способ: метод подстановки. Пусть , тогда . Подставив в исходное уравнение, получим . Группируем таким образом, чтобы в скобках была только одна функция или , т.е. (можно ). Далее выбираем функцию так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль, т.е.

.

Подставим найденное в уравнение , получим .

Общее решение уравнение .

Второй способ. Метод вариации произвольной постоянной. Предварительно решаем линейное уравнение .

Затем решение исходного уравнения ищем в виде , т.е. заменяем константу неизвестной функцией. Подставляем это решение в уравнение, получим

.

Искомое общее решение уравнение .

Ответ: .