8. Параметрические критерии.

1. F-критерий Фишера-Снедекора

Многие гипотезы требуют равенства дисперсий во всех ячейках комплекса. Этот факт можно установить с помощью критерия Фишера-Снедекора.

Алгоритм метода:

1. Две случайные величины Х и Y распределены по N

2. Имеются две выборки с объёмами, соответственно п_х и п_у.

3. Требуется на уровне значимости (0,1; 0,05; 0,01) проверить гипотезу:

Н0: D(X) = D(Y)

Н1: D(X)  D(Y) или H1: D(X)  либо  D(Y)

4. Вычисляют и

5. Находят оценки и

6. Вычисляют эмпирическое значение статистического критерия:

7. По таблицам находят критическое значение критерия:

F_кр = (p; f_б; f_м), где f_б = п_б – 1

f_м = п_м – 1;

р =  / 2 (для двухсторонней области)

р =  (для односторонней области)

8. Сравнивают F_эмп и F_кр:

Если F_эмп  F_кр  Н₀

Если F_эмп  F_кр  Н₁

2. Проверка равенства генеральных средних (случай больших выборок); z-критерий

Алгоритм метода:

1. Две случайные величины Х и Y распределены по N

2. Имеются две выборки с объёмами, соответственно п_х и п_у ( 50)

3. Требуется на уровне значимости (0,1; 0,05; 0,01) проверить гипотезу:

Н0: М(X) = М(Y)

Н1: М(X)  М(Y) или H1: М(X)  либо  М(Y)

4. Вычисляют и , и

5. Вычисляют эмпирическое значение z-критерия:

6. По таблицам функции Лапласа находим критическое значение:

для двусторонней области

= 1   для односторонней области

Ф(z) =  функция Лапласа

7. Сравнение z_набл и z_кр:

Для двусторонней области z_эмп z_кр⁽²⁾

Для левосторонней области z_эмп   z_кр⁽¹⁾  Н₀

Для правосторонней области z_эмп  z_кр⁽¹⁾

В противном случае Н₁

3. Сравнение малых выборок (п  50) t-критерий Стьюдента:

1. Две случайные величины Х и Y распределены по N

2. Имеются две выборки с объёмами, соответственно п_х и п_у ( 50)

3. Требуется на уровне значимости (0,1; 0,05; 0,01) проверить гипотезу:

Н0: М(X) = М(Y)

Н1: М(X)  М(Y) или H1: М(X)  либо  М(Y)

4. Вычисляют и , и

5. Вычисляют критическое значение t-критерия:

6. По таблицам распределения Стьюдента находим критическое значение t_кр(; f), где f = n_x + n_y – 2  ЧСС.

7. Если t_набл  t_кр  Н₀; в противном случае Н₁.

4. Для непарных выборок при неравенстве дисперсий (критерий Уэлча (Welch)):

t _набл. =

с ЧСС:

К =

4. Для парных выборок п_х = п_у = п:

t _набл. =

с ЧСС п – 1.

– среднее для выборки, составленной из разностей парных элементов двух выборок.

– дисперсия для выборки, составленной из разностей парных элементов двух выборок.

Для парных выборок необходимо требование связанности этих выборок: контроль – эксперимент, «до – после».

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей:

6. По выборкам различного объёма (критерий Батлетта):

х₁, х₂, …, х_k – N (генеральной совокупности)

п₁, п₂, …, п_k – объёмы выборок

– исправленные выборочные дисперсии

Требуется на уровне значимости  проверить гипотезу:

Н₀: D(х₁) = D(х₂) = … = D(х_k)

Н₁: неоднородность дисперсий

_i – ЧСС i-ой выборки _i = п_i – 1.

Средне взвешенная по числам степеней свободы исправленная дисперсия:

 =

В качестве критерия для проверки Н₀ используем случайную величину В = V / С, распределённого приближённо по ² с К – 1 степенями свободы при условии, что _i > 2, т. е. п_i  4:

V = 2,303

C = 1 +

Область критерия – правосторонняя, т. е. уровень значимости:

Р [B  _кр² (; K – 1)] = 

Н₀ принимается, если B  _кр²  = 0,05

Н₀ отвергается, если B  _кр²  = 0,01