Тема: Проверка статистических гипотез.

1. Основные понятия. Виды статистических гипотез.

На практике часто приходится на основе результатов измерений проверять различные предположения (так называемые гипотезы):

• Измерение одной и той же величины различными методами. Вопрос: Какой метод точнее?

• Лечение заболевания различными препаратами. Вопрос: Какой препарат эффективнее?

• Клиническое испытание нового препарата. Вопрос: эффективен ли препарат?

• Выявление различия между двумя выборками;

• Определение степени влияния данного фактора на результирующий показатель;

• Установление значимости полученных оценок генеральных параметров и т. д.

Определение:

Статистической гипотезой называется предположение о:

1. виде распределения;

2. значении параметра известного распределения;

3. соотношении между неизвестными параметрами случайных величин, распределённых по известному и неизвестному закону.

Классификация статистических гипотез:

Нулевая гипотеза – это гипотеза об отсутствии различий; это то, что мы хотим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

Альтернативная гипотеза – это гипотеза о значимости различий; это то, что мы хотим доказать.

Ненаправленная гипотеза:

Н₀: Х₁ не отличается от Х₂

Н₁: Х₁ отличается от Х₂

Направленная гипотеза:

Н₀: Х₁ не превышает Х₂

Н₁: Х₁ превышает Х₂

Гипотезы бывают простые и сложные:

Простая:

Н₀:  = 5;  – известно

Н₁:   5

Сложная:

Н₀:  = 5;  – неизвестно

Н₁:   5

Направленные гипотезы формулируются, если мы заметили, что в одной группе испытуемых индивидуальные значения выше, а в другой ниже; если мы хотим доказать, что в группе А под влиянием экспериментальных условий произошли более выраженные изменения, чем в группе Б.

2. Статистический критерий.

Для проверки статистических гипотез используется статистический критерий К: это решающее правило, обеспечивающее надёжное поведение, т.е. принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью. Статистический критерий – это специально подобранная величина, для которой известен (хотя бы приближённо) закон распределения.

Статистический критерий принимает в каждом случае два значения:

• эмпирическое К_эмп, рассчитанное по экспериментальным данным

• критическое К_кр, определённое по таблицам

Критическое значение статистического критерия разделяет всё множество значений критерия на две области S₀ (область принятия нулевой гипотезы Н₀) и S₁ (область принятия альтернативной гипотезы Н₁, так называемой критической области):

Виды критических областей:

1. двусторонняя (Довольно часто в силу симметрии закона распределения критерия К_кр1 = – К_кр2 )

2. правосторонняя

3. левосторонняя

4. односторонняя

Для статистических критериев, принимающих только положительные значения, существуют двухсторонние и односторонние критические области.

Вид критической области определяется направленностью статистической гипотезы.

3. Ошибки принятия гипотез.

Для принятия (или отвергания) статистической гипотезы необходимо знать два параметра:

• число степеней свободы 

• уровень значимости 

Число степеней свободы  равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован (объём выборки, средние, дисперсии).

Проверка гипотез осуществляется на основе выборочных данных. Очевидно, что при этом возможны ошибки.

Ошибки бывают двух видов:

1. ошибка первого рода:

Н₀ отвергается, но на самом деле она верна.

2. ошибка второго рода:

Н₀ принимается, но на самом деле верна Н₁.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости . Вероятность не допустить ошибку второго рода называется мощностью критерия 1 – , где  – вероятность допустить ошибку второго рода. Графическая иллюстрация ошибок может быть приведена на следующем рисунке, если мы знаем распределение статистического критерия для Н₀ и Н₁.

Для двусторонней критической области вероятность совершить ошибку 1-го рода равна:

Р(К  К_кр1) + Р(К  К_кр2) = 

П ри симметричном виде распределения:

Р(К  К_кр1) = Р(К  К_кр2) =  / 2

Для односторонних критических областей:

Р(К  К_кр) =  или Р(К  К_кр) = 

Мощность критерия часто определяется эмпирическим путём. Одни и те же задачи могут быть решены с помощью разных критериев, при этом обнаружи­вается, что некоторые критерии позволяют выявить различия там, где другие оказываются неспособными или выявляют более высокий уровень значимости различий.

Вопрос: Зачем же тогда нужны менее мощные критерии?

Ответ: Основанием для выбора критерия может быть не только мощность, но и

• простота;

• более широкий диапазон использования;

• применимость к неравным по объёмам выборкам;

• большая информативность результатов.