9. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

1. Доверительный интервал для математического ожидания при известной ².

Случайная величина х имеет нормальное распределение N(а; ), причём а – неизвестно, ² – известно. Эффективной оценкой для неизвестного математического ожидания а является выборочное среднее , которое имеет нормальное распределение: N(а; ).

Следовательно, статистика Z =

имеет нормальное распределение N(0; 1), не зависит от параметра а, непрерывна и строго монотонна.

С учётом симметрии нормального распределения Р(U_Z U_)=1   для данного уровня значимости :

 U_   U_ или  U_  а  + U_

где U_ находят из таблиц функции Лапласа Ф(U_) = .

Точность оценки  = U_ .

2. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной ².

Итак, случайная величина х ~ N(а; ), причём а и ² – неизвестны.

Эффективной оценкой а будет , ² – будет S² =

Статистика t(n – 1) = имеет распределение Стьюдента с (п – 1) степенями свободы.

С учётом симметрии, имеем P( t_ t  t_) = 1 или  t_   t_

Окончательно имеем доверительный интервал:

 t_  а  + t_

Точность интервальной оценки  = t_ где t_  t_( f )  t_(n – 1) – коэффициент Стьюдента из таблиц.

П ри одном и том же  с увеличением числа степеней свободы n – 1 доверительный интервал уменьшается, приближаясь к нормальному.

При n – 1 = const с увеличением  доверительный интервал увеличивается.

Рис.:

3. Доверительный интервал для дисперсии ² при известном а.

Эффективная оценка для ² при неизвестном математическом ожидании а является: S² =

Используется статистика: ²(п) =

Н адёжность оценки: Р(  ²  ) = 1  

Критические границы:  находят из таблиц при ;  находят при 1  с числом степеней свободы п, т.к. распределение ² не является симметричным.

Таким образом, доверительный интервал для этого случая:  

или, решив относительно ², получим  ² 

Из этой интервальной оценки легко получить оценку для среднеквадратического отклонения:

  

4. Доверительный интервал для дисперсии ² при неизвестном а.

Эффективной оценкой для а является , для дисперсии ² является:

S² =  исправленная выборочная дисперсия

Используется статистика:

²(п  1) =

Аналогично пункту 3 данного параграфа имеем:

Р = 1  

где  находят при ;  находят при 1  для ² с числом степеней свободы п  1.

Аналогично находится доверительный интервал для среднеквадратического отклонения .

10. Погрешности измерений.

 – истинное значение * – измеренное значение * =  – *  – абсолютная погрешность  = 100% – относительная погрешность

Прямые измерения:

х₁, х₂, …, х_п – результаты измерений

– точечная оценка

х⁽¹⁾ = t_ (f) – случайная абсолютная погрешность

х⁽²⁾ – систематическая абсолютная погрешность

х = – общая абсолютная погрешность

х = 100% – относительная погрешность

х =  х – доверительный интервал

(Замечание: правила вычислений с приближёнными числами)

Косвенные измерения:

y = f(х₁, х₂, …, х_k) где x_i – i-ая измеряемая величина

Из результатов прямых измерений имеем:

х₁ =  х₁

х₂ =  х₂

… … … … …

х_k =  х_k

В качестве среднего значения вычисляют:

= f(х₁, х₂, …, х_k)

Абсолютная погрешность рассчитывается с помощью дифференциала:

Если число измерений для всех x_i одинаковы, формула упрощается:

Замечание:

1. В том случае, если функция у представляет собой произведение степеней, используется метод логарифмирования (см. погрешности приближённых вычислений).

2. Класс точности К определяется по формуле:

К = 100%

22