Тема: Статистические оценки параметров распределения

1. Понятие статистической оценки.

Требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, нам известен закон распределения генеральной совокупности. Этот закон определяется несколькими параметрами. Для оценки неизвестных параметров генеральной совокупности используются данные выборки.

Статистической оценкой неизвестного параметра распределения генеральной совокупности называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Обозначим:

 – неизвестный параметр;

* – статистическая оценка неизвестного параметра;

* = f (x₁, x₂, …, x_n)

Статистическая оценка * является случайной величиной, поэтому имеет дисперсию и среднеквадратическое отклонение, а также ошибку репрезентативности (отклонение выборочного показателя от генерального).

Статистические оценки бывают двух видов: точечные и интервальные.

Оценка одним числом, зависящим от выборочных данных, называется точечной.

Оценка двумя числами, являющимися концами интервала, называется интервальной.

2. Требования, предъявляемые к точечным статистическим оценкам.

Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по всему множеству точечных оценок _i* неизвестного параметра .

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять следующим требованиям:

• состоятельность (стремление по вероятности к оцениваемому параметру при n  , т.е. * );

• несмещённость (отсутствие систематических ошибок при любом объёме выборки М(*) = );

• эффективность (среди всех возможных оценок эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией min D(*)).

Например, из трёх показателей, описывающих положение центра нормального распределения некоторого признака (среднее арифметическое, медиана и мода) наиболее эффективной является среднее арифметическое:

 

3. Основные характеристики выборочных совокупностей.

В качестве основных характеристик вариационных рядов применяют средние величины.

Средние величины бывают степенные средние и структурные средние.

Степенные средние вычисляются по формуле:

М_k =

1. k = 1 средняя арифметическая (выборочная средняя)

= (по не сгруппированным данным)

= (по сгруппированным данным или средневзвешенная )

2. k = 2 ср/едняя арифметическая

(используется для числовой характеристики мер площади)

3. k = 3 средняя кубическая

(используется для числовой характеристики объёмных признаков)

4. k = -1 средняя гармоническая

(применяется тогда, когда результаты заданы обратными значениями вариант)

5. среднее геометрическое

(применяют для вычисления абсолютных (относительных) прибавок; используют десятичные логарифмы)

Структурные средние: медиана, мода, квантили, размах варьирования, коэффициент вариации.

Выборочная дисперсия:

D_в =

Среднее квадратическое отклонение (стандарт): _в =

4. Точечные оценки генеральных параметров нормально распределённой совокупности.

Генеральный параметр	Точечная оценка	Свойства точечной оценки
М(Х) =	выборочная средняя	Не смещаемая Эффективная Состоятельная
D(X) =	Dв выборочная дисперсия	Асимптотически несмещённая, т.е. М(Dв) , но
	исправленная дисперсия	Несмещаемость
	в = (стандарт)	Смещаемость
	исправленное среднеквадратическое отклонение	Несмещённая

Так как является случайной величиной, то у неё есть дисперсия – дисперсия выборочной средней:

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней:

Коэффициент вариации является безразмерной величиной, пригоден для сравнения рассеяния вариационных рядов с различными размерностями:

V =