2.3.2 Методика решения задачи по определению оптимального плана развозки груза в логистической цепи

А) Исходные данные

Фирма по ремонту бытовой техники планирует обслуживание клиентов по их заявкам на очередной день. Всего поступило 4 заявки от населения из разных районов города (адресов проживания). Удовлетворение всех заявок требует доставки техники в ремонтную мастерскую. Для доставки техники на очередной день выделен один автомобиль. Известны расстояния от мастерской до каждого пункта проживания заявителей и расстояния между пунктами (таблица 1).

Требуется составить наикратчайший маршрут движения автомобиля, чтобы автомобиль забрал технику у каждого заявителя, посетив его только один раз, и вернулся в мастерскую.

Таблица 1 – Расстояния от мастерской до мест проживания заявителей

Номера	Номера пунктов
пунктов	1	2	3	4	5
1	10000	10	8	54	10
2	6	10000	4	5	7
3	5	3	10000	6	12
4	1	7	2	10000	8
5	2	35	5	2	10000

Б) Экономико-математическая модель решения задачи

Задача заключается в определении последовательности объезда пунктов, при которой требуется пройти наименьшее расстояние. При этом предполагается, что расстояние между каждой парой пунктов известно. Вместо длины пути могут использоваться такие критерии как стоимость, время и др. Алгоритм решения задачи может применяться для определения наиболее выгодного маршрута обхода наладчика станков в цехе (контролера, охранника, милиционера, инкассатора и т.д.), отвечающего за должное функционирование заданного множества объектов (каждый из этих объектов моделируется вершиной графа). Другим применением задачи является составление наиболее выгодного маршрута доставки деталей рабочим или хлеба с хлебозавода по заданному числу булочных и других торговых точек.

Математическая постановка задачи состоит в следующем.

Определить булевы переменные :

;

.

Тогда сама задача заключается в определении минимума целевой функции

, (6)

при ограничениях:

, (только один въезд в пункт ), (7)

, (только один выезд из пункта ), (8)

В задаче коммивояжера необходимо еще одно условие, а именно:

, . (9)

Это специальное условие обеспечивает устранение циклов и несвязанных маршрутов, попросту означающих перемещения коммивояжера по замкнутому частичному маршруту.

В) Решение задачи коммивояжера в Excel

Подготовительный этап

1). Создаем исходную таблицу (рисунок 13) и вносим в нее имеющиеся исходные данные.

Рисунок 13 – Исходные данные для решения задачи

2). Создаем таблицу для размещения результатов решения задачи (рисунок 14).

Рисунок 14 – Таблица для результатов решения задачи

3). Создаем таблицу для ограничений по дополнительным переменным, исключающим циклы (рисунок 15).

Рисунок 15 – Таблица для ограничений по дополнительным переменным

Заполнение таблиц формулами, связывающими план объезда, ограничения и целевую функцию (наименьшее расстояние, время, стоимость и т.д.)

1). Заполняем формулами значения ограничений на въезд и выезд в таблице, где будут размещены результаты решения задачи (рисунок 14)

Для этого устанавливаем курсор в ячейку на пересечении строки Ограничения на въезд в j и столбца с номером пункта 1 (ячейка В10) и активируем ее, щелкнув левой кнопкой мыши (рисунок 16);

Рисунок 16 – Заполнение формулами таблицы результаты решения (ввод ограничений)

вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме f_x и в категории «математические» выбираем функцию СУММ, нажимаем ОК (рисунок 17);

в появившемся окне (рисунок 18) в строку массив 1 вводим данные, которые будут получены в результате решения задачи в столбце 1, выделив в столбце ячейки В5:В9. Для этого необходимо установить курсор в ячейку В5, щелкнуть левой кнопкой мыши и удерживая ее в нажатом положении протащить курсор до ячейки В9 включительно;

Рисунок 17 – Вызов мастера функций и поиск функции СУММ

Рисунок 18 – Заполнение формулами строки ограничений на въезд

заполняем формулами оставшиеся ячейки в строке «Ограничения на въезд в j» для каждого номера пункта. С этой целью копируем формулу из заполненной ячейки В10 для оставшихся ячеек в строке. Для копирования необходимо активировать ячейку на пересечении строки «Ограничения на въезд в j» и столбца «1», щелкнув по ячейке левой кнопкой мыши, и удерживая ее в нажатом положении, протащить курсор по строке «Ограничения на въезд в j» до последней ячейки (F10) включительно.

Ограничения по столбцу «ограничения на выезд из i» заполняются формулами аналогично с той лишь разницей, что суммирование выполняется не по столбцу, а по соответствующей строке.

2). Вводим формулу для вычисления значения целевой функции (рисунок 19)

Рисунок 19 – Ввод формулы для определения значения целевой функции

Для этого активируем свободную ячейку, в которую будет заноситься значение целевой функции (В11 на рисунке 19);

вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме f_x, и в появившемся окне в категории «математические» выбираем функцию СУММПРОИЗВ, щелкаем ОК;

в появившемся окне в строку массив 1 вводим адреса ячеек, в которых размещены значения расстояний между пунктами, а в строку массив 2 адреса ячеек, в которых будут размещен план объезда (рисунок 19). Нажимаем ОК.

3) Заполнение формулами таблицы ограничений по дополнительным переменным для вычисления значения целевой функции. Принципы заполнения показаны в таблице 2. При этом в качестве данных по дополнительным переменным ( ) используются данные из ячеек последней строки таблицы с результатами решения задачи (рисунок 20).

Таблица 2 – Принципы заполнения таблицы ограничений с дополнительными переменными

	U2	U3	U4	U5
U2
U3
U4
U5

Рисунок 20 – Заполнение формулами таблицы ограничений по дополнительным переменным.

Вычислительный этап

1). Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/Анализ/Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения (Excel 2003 и ниже).²

2). Заполняем поля в появившемся окне:

в поле «установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки ($F$26), в которой будет находиться искомое значение расстояния (рисунок 21);

в поле «изменяя ячейки» вводим адреса ячеек (рисунок 21), в которых будут находиться искомые величины плана объезда и ячеек с ограничениями связанности (рисунок 21);

устанавливаем курсор в поле ограничения и нажимаем кнопку добавить, щелкнув по ней левой кнопкой мыши;

в появившемся окне «добавление ограничения» в поле «ссылка на ячейку» вводим значения ограничений (рисунок 21).

После ввода ограничений нажимаем кнопку «Выполнить» в окне «Поиск Решения».

Рисунок 21 – Работа в окне «Поиск решения»

Анализ результатов расчетов

Данные по решению задачи находятся в таблице «Результаты решения» (рисунок 22). Так в строках «Номера пунктов» размещены значения искомых переменных. Если они равны 1, то движение осуществляется из номера пункта в троке таблицы в номер пункта в столбце (из пункта 1 в пункт 3, из 3 в 2, из 2 в 5, из 5 в 4, из 4 в 1). В рассматриваемой задаче минимальное

Рисунок 22 – Результаты решения задачи

расстояние (протяженность) объезда заявителей составит 21 ед. длины и обеспечивается при движении по маршруту 1, 3, 2, 5,4,1.