8.3. Пуассонівський процес

Розглянемо одну досить загальну схему, за допомогою якої можна описувати велику кількість експериментів, в яких спостерігаються події, що можуть відбуватися чи не відбуватися в кожен момент часу.

Нехай подія може наставати у випадкові моменти часу і нехай – число появ події за проміжок часу , при цьому виконуються наступні умови:

1) Число появ події за проміжки часу, що не перетинаються є незалежними випадковими величинами: при незалежні. Тобто є процесом із незалежними приростами.

2) Для будь-якого проміжку часу ймовірність настання події залежить тільки від довжини проміжку і не залежить від його положення: розподіл не залежить від (процес є однорідним).

3) При , , .

Тоді процес, що задовольняє таким умовам, називається процесом Пуассона.

Введемо ймовірність . Очевидно при .

Якщо виконуються умови 1) – 3), то для будь-якого

, .

Знайдемо спочатку . Тоді і . Звідси випливає неперервність і існування . Тому після ділення останньої рівності на і переходу до границі, коли , одержуємо диференціальне рівняння , розв’язок якого задовольняє умові . Тому

.

При .

Із умови 3) випливає, що , , при . Тому . Після ділення на і переходу до границі, коли , одержуємо диференціальне рівняння

,

розв’язок якого задовольняє умові , . Виконавши заміну , для одержуємо диференціальне рівняння , розв’язок якого задовольняє умові , . Оскільки , то за індукцією для одержуємо . Отже, .

Введемо випадкову величину - момент першого настання події. Нехай . Тоді і . Отже, момент першого настання події має показниковий розподіл: при і при .

Нехай – процес Пуассона, для якого , і нехай – незалежні, однаково розподілені випадкові величини, які для будь-яких і не залежать від .

Розглянемо новий процес

( ). Такий процес називається узагальненим процесом Пуассона.

Цей процес кусково-сталий, його стрибки відбуваються в тих точках, де відбуваються стрибки , величина -го стрибка дорівнює . Розглянемо послідовність випадкових величин , для якої при , при ( – момент 1-го настання події, – час від моменту 1-го настання події до моменту 2-го настання події і т. д.). Тоді

Покажемо, що узагальнений процес Пуассона є однорідним процесом із незалежними приростами.

Спочатку доведемо, що для будь-яких випадкові величини , ,…, є незалежними. Для довільних , і дійсних ,…, , події і є незалежними, бо випадкові величини , , , незалежні. Це означає, що величини і є незалежними. Звідси випливає, що є процесом із незалежними приростами.

Процес – однорідний, якщо не залежать від . За формулою повної ймовірності

.

Позначимо для , при і при . Оскільки – однаково розподілені випадкові величини, то розподіли величин і будуть однаковими. Тому .

Врахуємо, що . Тоді

.

Отже, розподіл від не залежить. Тому узагальнений процес Пуассона є однорідним.

Вправа.

5. Нехай – узагальнений процес Пуассона. Знайти характеристичну функцію величини , якщо – функція розподілу .