Із (10), (11) і (12) одержуємо, що при всіх досить великих і

.

Звідки, із довільності і умови Ліндеберга (1) випливає, що рівномірно по в кожному скінченному проміжку виконується (8), а це рівносильно (3). Теорема доведена.

7.1.3. ЦГТ для послідовності серій. Розглянемо послідовність серій випадкових величин

(13)

Будемо вважати, що величини, які входять в одну серію, незалежні. Покладемо

.

Теорема 2. Нехай послідовність серій незалежних випадкових величин (13) така, що величини мають скінченні моменти другого порядку, , ,

і виконується умова Ліндеберга

,

де – функція розподілу , тоді послідовність сум асимптотично нормальна з параметрами 0 і 1.

Доведення практично не відрізняється від доведення теореми 1.

7.1.4. Цгт для однаково розподілених випадкових величин.

Теорема 3. Якщо випадкові величини – незалежні, однаково розподілені, мають скінченні математичні сподівання і скінченні дисперсії , то .

Доведення. В цьому випадку , . Позначимо через функцію розподілу . Тоді

,

бо із існування дисперсії випливає, що інтеграл збіжний, тому

і .

А це означає, що виконується умова Ліндеберга (1), тому виконується і (3).

Наслідок (Інтегральна теорема Муавра-Лапласа ). Якщо є число появ події в незалежних випробуваннях, у кожному із яких ймовірність настання цієї події дорівнює і , то рівномірно відносно і ( )

. (14)

Доведення. Позначимо через число появ події в -му експерименті, тоді число появ події в експериментах . Випадкові величини – незалежні однаково розподілені за законом

. Тоді і виконуються умови теореми 3. Тому для довільного

. (15)

Оскільки , то із (15) одержуємо (14).

7.1.5. Теорема Ляпунова.

Теорема 4. Нехай – незалежні випадкові величини, що мають скінченні математичні сподівання , дисперсії , для деякого існують і

, (16)

тоді .

Доведення. Для довільного

. Отже, із умови (16) випливає виконання умови Ліндеберга (1), тому виконується і (3).

Вправи.

1. Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром . Показати, що асимптотично нормальна при .

2. Випадкова величина має гамма-розподіл із щільністю . Показати, що асимптотично нормальна при .

3. Випадкова величина має розподіл із щільністю Показати, що асимптотично нормальна при .

4. Нехай є число появ події в незалежних випробуваннях, у кожному із яких ймовірність настання цієї події дорівнює і . Використовуючи ЦГТ, оцінити ймовірність того, що буде відрізнятися від не більше, ніж на . Знайти , при якому для ця ймовірність не перевищує 0,05.

5. Нехай , – незалежні випадкові величини, причому , а при і . Чи виконується для сум ЦГТ?