7.2. Гратчасті розподіли. Локальна гранична теорема для гратчастих розподілів

Дискретна випадкова величина має гратчастий (арифметичний) розподіл, якщо її можливі значення можна представити у вигляді , де , – крок розподілу, може приймати будь-які цілі значення. Крок називається максимальним, якщо ні для якого числа і можливі значення не можуть бути представлені у вигляді .

Теорема 1. Для того, щоб випадкова величина мала гратчастий розподіл необхідно і досить, щоб існувало таке число , що .

Доведення. Нехай випадкова величина має гратчастий розподіл і приймає значення з ймовірностями ,тоді характеристична функція випадкової величини

. (17)

Виберемо , тоді . Тому .

Нехай існує таке, що , тоді , де – фіксоване дійсне число. За означенням . Покладемо , тоді одержимо: або . Звідки одержуємо рівність

.

Ця рівність може виконуватись тільки тоді, коли в точках росту функції виконується рівність . Це означає, що можливі значення мають вигляд , де , . Що і треба було довести.

Відзначимо, що із (17) випливає така властивість: якщо випадкова величина має гратчастий розподіл із кроком , то модуль характеристичної функції є функція періодична із періодом , тобто .

Теорема 2. Для того, щоб крок був максимальним необхідно і досить, щоб для довільного , а .

Доведення. Якщо крок - максимальний, то можливі значення не можуть бути представлені у вигляді , де . Нехай - максимальний. Припустимо, що в деякій точці . По доведеному це означає, що можливі значення можна представити у вигляді із кроком . Але , тому . Отже, одержали протиріччя, яке доводить, що при .

Наслідок. Якщо – максимальний крок, то для довільного і існує таке, що для .

Доведення випливає із того, що неперервна на відрізку , тому досягає на цьому відрізку свого найбільшого значення. Позначимо його . Припустимо, що , тоді знайдеться точка , що , а за теоремою 3 це протирічить тому, що крок – максимальний.

На основі наведених результатів можна довести важливу локальну граничну теорему для гратчастих розподілів, яка є узагальненням локальної граничної теореми Муавра-Лапласа.

Розглянемо послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин , що мають гратчастий розподіл, тобто можливі значення можна представити у вигляді . Позначимо через . Тоді можливі значення можна подати у вигляді . Позначимо через . Будемо вважати, що випадкові величини мають скінченні математичні сподівання , скінченні дисперсії . Позначимо .

Теорема 3 (Локальна гранична теорема для гратчастих розподілів). Нехай – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, що мають гратчастий розподіл, скінченні математичні сподівання і дисперсії. Для того, щоб рівномірно по , необхідно і досить, щоб крок був максимальним.

Вправа.

6. Показати, що розподіли Пуассона і біномний є гратчастими.

7.3. Поняття про граничні закони відмінні від нормального. Нескінченно подільні закони, стійкі закони

У теорії граничних теорем виникає питання про те, які закони, крім нормального, можуть бути граничними для сум незалежних випадкових величин. Нормальним законом не вичерпується клас граничних законів. Із закону великих чисел випливає, що вироджений розподіл є граничним для середнього арифметичного незалежних однаково розподілених випадкових величин із скінченним математичним сподіванням. В схемі Бернуллі при виконанні певних умов граничним виступає розподіл Пуассона.

Нехай задано послідовність серій випадкових величин

Будемо вважати, що величини, які входять в одну серію, незалежні. Покладемо

.

Виявляється, що при певних обмеженнях на випадкові величини клас граничних законів для сум співпадає з класом нескінченно подільних законів. Якщо не накладати на випадкові величини ніяких обмежень, то граничним може бути будь-який розподіл. Дійсно, якщо – довільна випадкова величина з функцією розподілу і , а , то і розподіл , а отже і граничний, співпадає з .

Функція розподілу називається нескінченно подільною, якщо для довільного її можна подати у вигляді -кратної згортки деякої функції розподілу

.

У термінах характеристичних функцій це означає, що відповідна характеристична функція (яку також називають нескінченно подільною) для довільного є -им степенем деякої іншої характеристичної функції :

.

Відповідна випадкова величина також називається нескінченно подільною. В цьому випадку існують незалежні однаково розподілені випадкові величини такі, що (тобто випадкова величина і сума випадкових величин мають однакові розподіли).

Теорема 1. Характеристична функція нескінченно подільного розподілу ніде не перетворюється в 0, тобто, .

Доведення. Доведемо спочатку одну нерівність для характеристичних функцій. Нехай - дійсна характеристична функція, а - відповідна функція розподілу. Тоді із нерівності , одержуємо

. (18)

Із властивостей характеристичних функцій випливає, що для довільної характеристичної функції справедлива рівність , тому і є характеристичною функцією, крім того, – дійсна.

Нехай характеристична функція є нескінченно подільною. Це означає, що для довільного , де – деяка характеристична функція. Оскільки неперервна функція і , то існує а, що при , а отже і функція . При досить великих n і при довільному величину можемо зробити як завгодно близькою до одиниці. Із того, що є дійсною характеристичною функцією із (18) випливає, що виконується нерівність

,

із якої одержуємо

. (19)

Із (19) випливає, що при великих n і , то в тому ж проміжку . Звідки випливає, що , а отже і , при досить великих n і . Аналогічно одержуємо, що при досить великих n і і так далі. Що і доводить теорему.

Теорема 2. Сума незалежних нескінченно подільних випадкових величин є величина нескінченно подільна.

Доведення. Нехай випадкові величини – нескінченно подільні і мають характеристичні функції відповідно. Тоді для довільного існують характерастичні функції , що і . Тому характеристична функція суми зображається у вигляді , тобто є нескінченно подільною.

Теорема 3. Якщо при кожному є нескінченно подільною і , то функція розподілу є нескінченно подільною.

Доведення. Нехай – характеристична функція розподілу , а – характеристична функція розподілу , тоді рівномірно в кожному скінченному проміжку зміни

. (20)

За умовою – нескінченно подільна характеристична функція, тому для довільного натурального , де – характеристична функція. Із рівності і (20) випливає, що при кожному натуральному існує границя . Із неперервності випливає неперервність , тому є характеристичною функцією при кожному натуральному і , а це означає, що є нескінченно подільною.

Важливість класу нескінченно подільних законів випливає із наступної теореми, яку ми наведемо без доведення.

Теорема 4. Нехай в кожній серії незалежні однаково розподілені випадкові величини, позначимо , – функція розподілу . Для того, щоб при , необхідно і досить, щоб функція розподілу була нескінченно подільною.

Справедливе і більш загальне твердження. Нехай для послідовності серій незалежних в кожній серії випадкових величин виконується умова: для довільного . Тоді граничні розподіли для при можуть бути тільки нескінченно подільними.

Якщо – нескінченно подільна характеристична функція, то її логарифм може бути єдиним способом поданий у вигляді

,

де і – неспадна функція обмеженої варіації.

Функція розподілу називається стійкою, якщо для довільних , , , існують і такі, що , де * – позначає згортку. Характеристична функція називається стійкою, якщо для довільних , , існують і такі, що .

Очевидно, що стійкий розподіл є нескінченно подільним.

Нехай – послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин і . Якщо існують і такі, що , то функція розподілу є стійкою.

Вправи.

7. Узагальнимо поняття закону Пуассона, яке зустрічалося раніше. Випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона може приймати лише значення , де і дійсні сталі, а і . Довести, що розподіл Пуассона нескінченно подільний.

8. Довести, що нескінченно подільними є: а) нормальний закон; б) вироджений закон; в) показниковий розподіл.

9. Показати, що для всіх характеристична функція є нескінченно подільною.

Розділ 8. Елементи теорії випадкових процесів