5.2.2. Необхідна і достатня умова для закону великих чисел.

Теорема 4. Нехай випадкові величини – незалежні, мають скінченні математичні сподівання . Для того, щоб

, (16)

необхідно і достатньо виконання умови

(17)

Доведення. Використаємо, що функція при є зростаючою. Тоді для будь-якого

.

Якщо виконується умова (17), то із одержаної нерівності випливає, що , а це означає, що умова (16) виконується.

Для доведення необхідності врахуємо, що при , а для всіх x, тоді

.

Умова (16) еквівалентна умові , тому із одержаної нерівності випливає, що для будь-якого , а це означає, що верхня границя може бути рівна лише 0, отже, і сама границя рівна 0. Тобто, із (16) випливає (17). Теорема доведена.

5.2.3. Нерівність Колмогорова. Нехай незалежні випадкові величини мають скінченні математичні сподівання і дисперсії . Позначимо . Тоді для будь-якого справедлива нерівність

, (18)

Яку називають нерівністю Колмогорова.

Доведення. Позначимо , тоді . Введемо випадкові події , , тоді і . Нехай , тоді і . Для всіх елементарних подій справедлива нерівність . Оскільки і , то

. (19)

Випадкові величини і визначаються величинами , а . За умовою випадкові величини - незалежні і , тому величини і – незалежні і . Якщо врахуємо нерівність , то із (19) одержуємо

. (20)

Для всіх елементарних подій справедлива нерівність , тоді із (20) одержимо: . Якщо ми врахуємо, що і поділимо попередню нерівність на , то одержимо нерівність Колмогорова (18).

Оскільки, і , то перехід до границі у нерівності Колмогорова дає таку нерівність

.

5.2.4. Посилений закон великих чисел.

Теорема Колмогорова. Нехай випадкові величини – незалежні, мають скінченні математичні сподівання і дисперсії . Якщо ряд – збіжний, то має місце посилений закон великих чисел .

Доведення. Позначимо , , . Тоді, для довільного натурального існує таке, що і

.

Тому для доведення теореми досить довести, що . За властивістю збіжності з ймовірністю 1 (наслідок 2), останнє буде виконуватись, якщо для будь-якого ряд

(21)

буде збіжним. Застосувавши нерівність Колмогорова

,

із (21) одержимо

. (22)

Змінимо у правій частині нерівності (22) порядок додавання, тоді

.

За умовою, ряд – збіжний, тому збіжний і ряд (21), а звідси, як відзначено вище, випливає справедливість теореми.

Теорема Бореля. Якщо – число появ події A в випробуваннях Бернуллі і , то (відносна частота настання події збігається до з ймовірністю 1).

Доведення. Як і при доведенні теореми Бернуллі, нехай – число появ події в -му випробуванні, тоді , , тому ряд – збіжний, а звідси, за теоремою Колмогорова, випливає, що .

Теорема Бореля є підтвердженням статистичного підходу до означення ймовірності як границі відносної частоти.

Зауваження. Нехай випадкові величини – незалежні і однаково розподілені. А.М. Колмогоров показав, що в цьому випадку умова існування скінченного математичного сподівання є необхідною і достатньою для справедливості посиленого закону великих чисел.

Вправи.

2. Задано послідовність незалежних випадкових величин , що мають рівномірний розподіл на відрізку а) ; б) ; в) . Чи можна застосувати до даної послідовності теорему Чебишова про закон великих чисел?

3. Перевірити, чи можна застосувати теорему Чебишова про закон великих чисел до послідовності незалежних випадкових величин , якщо

		0

.