5.1.3. Збіжність з ймовірністю 1. За означенням , якщо

. (9)

Тоді збіжність при означає, що для будь-якого існує таке, що для всіх виконується нерівність . Для вияснення змісту даного речення, введемо деякі події. Виберемо і позначимо . Але починаючи із настають всі події , тому настає подія . Так як існує таке, що настає подія , то настає і подія . І нарешті, для довільного настає подія , тому настає подія . Таким чином, справедлива така рівність

. (10)

Враховуючи (10), із (9) випливає, що збіжність еквівалентна умові , а це еквівалентно тому, що

1, (11)

бо якщо існує таке, що , то із того, що одержали б, що . Оскільки подія , а події утворюють зростаючу послідовність подій, тому за аксіомою неперервності із (11) одержимо . Тому ймовірність протилежної події має прямувати до , тобто, . Отже, ми довели наступне твердження.

Теорема 5. Збіжність з ймовірністю 1 еквівалентна виконанню однієї із умов: для будь-якого

або

.

Друга умова рівносильна умові:

,

а це означає, що при .

Наслідок 1. Із збіжності з ймовірністю 1 випливає збіжність за ймовірністю.

Із того, що для всіх випливає, що

. (12)

Якщо має місце збіжність з ймовірністю 1, то за теоремою 5 права частина в (12) прямує до нуля при , тому із нерівності (12) випливає, що при , а це означає збіжність за ймовірністю і справедливість наслідку.

Наслідок 2. Якщо для будь-якого числовий ряд є збіжним, то збігається до випадкової величини з ймовірністю 1.

Розглянемо нерівність

, (13)

у якій права частина є залишком ряду . Якщо ряд збіжний, то його залишок прямує до нуля. Тому, за нерівністю (13) і теоремою 5, одержуємо справедливість наслідку 2.

Теорема 6. Якщо , то із послідовності можна виділити підпослідовність, яка буде збігатися до випадкової величини з ймовірністю 1.

Доведення. Дано: . Це означає, що для довільного існує таке , що для всіх виконується нерівність . Покладемо , – натуральне. Тоді існує , для якого . Ряд збіжний, тому збіжний і ряд , а із попереднього наслідку випливає, що підпослідовність з ймовірністю 1.

5.1.4. Лема Бореля-Кантеллі. Розглянемо довільну послідовність подій . Позначимо через подію, яка полягає у тому, що у послідовності подій настає нескінченна кількість подій. Тоді .

Лема. 1) Якщо числовий ряд – збіжний, то , а якщо події – незалежні і , то ряд – збіжний.

2) Якщо події – незалежні, і ряд – розбіжний, то .

Доведення. Послідовність – спадна, тому за аксіомою неперервності . В нерівності права частина є залишок збіжного ряду, тому при , отже, . Розглянемо тепер подію , що є сумою зростаючої послідовності подій . За аксіомою неперервності

. (14)

Використовуючи незалежність подій і нерівність , одержимо

. (15)

Якщо , то , тому із (14) випливає, що . Переходячи до границі в нерівності (15) при , одержуємо , а , звідки випливає, що ряд – збіжний.

Якщо ряд – розбіжний, то . В цьому випадку права частина нерівності , що одержана із (15), прямуватиме до нуля, тому і . Звідки випливає, що , а . Лема доведена.

Нехай , – подія, яка полягає в тому, що у послідовності настає нескінченна кількість подій. Порівнюючи із (11), одержуємо, що умова еквівалентна умові . За доведеною лемою для цього достатньо збіжності ряду . Таким чином, із леми Бореля-Кантеллі ми одержали результат, що еквівалентний наслідку 2.