Розділ 5. Закон великих чисел

5.1. Деякі типи збіжностей послідовностей випадкових величин

5.1.1. Основні означення. Нехай задана послідовність випадкових величин ,…, що визначені на одному і тому ж ймовірнісному просторі.

Послідовність називається збіжною за ймовірністю до випадкової величини , якщо для будь-якого

(1)

або . Позначається .

Послідовність називається збіжною до випадкової величини з ймовірністю 1 (майже напевне), якщо

(2)

або . Позначається або при з ймовірністю 1.

Послідовність називається збіжною до випадкової величини в середньому порядку , якщо

. (3)

При збіжність називається збіжністю в середньому, а при – збіжністю в середньоквадратичному.

Нехай маємо послідовність функцій розподілу . Дана послідовність називається збіжною в основному до функції , якщо ця збіжність має місце в кожній точці неперервності функції . Якщо - функція розподілу , а – функція розподілу випадкової величини , то в цьому випадку кажуть, що послідовність випадкових величин збігається за розподілом до випадкової величини .

5.1.2. Властивості збіжності за ймовірністю.

Теорема 1. Нехай і – неперервна на функція, тоді

. (4)

Доведення. Із неперервності на функції випливає, що для довільного і для довільного існує таке , що як тільки і , то . Покладемо , і розглянемо події , . Із одночасного настання цих двох подій випливає настання події , тобто , а для протилежних події будемо мати . Тому

.

Із того, що , а при випливає, що для будь-якого число можна вибрати так, щоб = . Зафіксуємо таке число . Розглянемо другий доданок: . За умовою , тому для заданого довільного існує таке , що для всіх . Отже, для довільного існує таке , що для всіх , а це означає, що має місце (4). Теорема доведена.

Теорема 2. Нехай задано -вимірну послідовність , при цьому при , – неперервна на функція, тоді .

Доведення аналогічне доведенню теореми 1.

Теорема 3. Нехай випадкові величини мають функцію розподілу , а випадкова величина – . Якщо , то послідовність збігається в основному до .

Доведення. Нехай = , де - довільне. Оскільки , то

. (5)

Нехай – довільна точка неперервності . Якщо настає подія , то настає подія { } і , тоді . Тому

.

Із даної нерівності і (5) випливає, що

. (6)

Аналогічно, , тоді

, а

. Тому

.

Звідки, врахувавши (5), одержимо:

. (7)

Із (6) і (7) випливає нерівність

.

У останній нерівності перейдемо до границі, коли . За рахунок того, що – точка неперервності , верхня і нижня границі співпадають, тому існує . Що і треба було довести.

Теорема 4. Якщо послідовність функцій розподілу збігається в основному до , де , то .

Доведення. Нам треба показати, що

. (8)

Але . Виберемо таким, щоб точки були точками неперервності . Тоді , а при . Тому із попередньої рівності випливає (8).