4.3. Нерівність Чебишова

1. Нехай функція – невід’ємна і неспадна на множині значень випадкової величини і при , існує , тоді для будь-якого

.

Нехай – функція розподілу . Оскільки – неспадна і невід’ємна, то за властивістю математичного сподівання функції від випадкової величини

.

Поділивши останню нерівність на , дістанемо необхідну нерівність.

2. Розглянемо частинний випадок одержаної нерівності. Нехай випадкова величина – невід’ємна, має скінченне математичне сподівання, тоді для будь-якого

.

Цю нерівність називають ще нерівністю Маркова. Вона випливає із попередньої нерівності, якщо покладемо .

3. Якщо випадкова величина має скінченне математичне сподівання, тоді для будь-якого

Випливає із застосування попередньої до випадкової величини .

4.Якщо випадкова величина має скінченну дисперсію, то для будь-якого

.

Застосуємо першу нерівність до випадкової величини і : .

Якщо перейдемо до протилежної події, то одержимо нерівність

.

Приклад. Нехай випадкова величина приймає два можливих значення з ймовірностями і . Тоді , . За нерівністю Чебишова . Але безпосередньо . Тобто, нерівність Чебишова дає оцінку, яку покращити неможливо.

Вправа.

9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність того, що при 1000 киданнях монети число випадань герба буде лежати між 450 і 550.

4.4. Моменти випадкових величин. Деякі інші числові характеристики

Моментом -го порядку випадкової величини (початковим моментом -го порядку) називається величина , якщо вона існує. В цьому випадку існує також величина , яка називається абсолютним моментом -го порядку. Моменти випадкової величини називаються центральними моментами -го порядку: . Величина називається центральним абсолютним моментом -го порядку. Зокрема, , .

Використовуючи введені позначення, нерівність Ляпунова може бути записана у вигляді: при .

Обчислимо центральні моменти випадкової величини , що має нормальний розподіл з параметрами і :

.

Після виконання підстановки , одержимо:

.

Якщо – непарне, то . Нехай . Тоді підстановка , аналогічно до обчислення дисперсії, дає

.

За допомогою центральних моментів вводяться такі характеристики, як асиметрія розподілу і ексцес розподілу . Для нормального розподілу ці характеристики рівні нулю. Легко показати, що асиметрія і ексцес інваріантні відносно лінійного перетворення випадкової величини: для будь-яких дійсних і випадкові величини і мають однакову асиметрію і однаковий ексцес.

Якщо функція розподілу неперервна і строго монотонна, то для довільного рівняння має єдиний розв’язок . Цей розв’язок називають -квантиллю або квантиллю порядку розподілу . Але для довільної функції розподілу рівняння може мати багато розв’язків, тоді будь-який із них називають -квантиллю розподілу , а може і не мати розв’язків. В загальному випадку -квантиллю розподілу називається таке число , що , а . Інколи -квантиль визначають за допомогою рівності .

Якщо функція розподілу випадкової величини неперервна і строго монотонна і , то .

У випадку , називають медіаною розподілу. Якщо – медіана розподілу, то і .

Якщо випадкова величина дискретна, то те із її значень, яке вона приймає із найбільшою ймовірністю, називають модою розподілу, якщо ж випадкова величина неперервна, то модою називають такі значення x, при яких щільність розподілу має максимум.

Вправа.

10. Знайти асиметрію і ексцес для рівномірного розподілу на відрізку .