3.5. Функції від випадкової величини

Нехай – борелєва функція, – випадкова величина, тоді також випадкова величина. Тоді

Якщо – монотонно зростаюча, то

,

а щільність розподілу

.

Якщо ж – монотонно спадна, то

,

а

Для довільної монотонної функції щільність розподілу

Нехай – строго зростаюча функція розподілу випадкової величини . Розглянемо випадкову величину . Тоді при

,

при , а при . Тобто, випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [0,1]:

Нехай – строго зростаюча функція розподілу. І нехай – випадкова величина, що має рівномірний розподіл на відрізку [0,1]. Розглянемо випадкову величину . Тоді

.

Тобто, випадкова величина має задану функцію розподілу .

Приклад. Випадкова величина розподілена за стандартним нормальним законом. Знайти щільність розподілу випадкової величини .

Розв’язування. Знайдемо спочатку функцію розподілу . Оскільки випадкова величина невід’ємна, то при . Нехай , тоді

.

Тому . Отже,

Відзначимо, що одержаний розподіл є частинним випадком гамма-розподілу при , .

Вправи.

14. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром . Знайти щільність розподілу .

15. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром . Знайти щільність розподілу випадкової величини .

16. Випадкова величина має функцію розподілу . Знайти функцію розподілу випадкової величини .

17. Випадкова величина має рівномірний розподіл на [0,1]. Знайти функцію розподілу випадкової величини .

3.6. Багатовимірні випадкові величини

3.6.1. Випадкові вектори, їх розподіли. Нехай на ймовірнісному просторі задані випадкові величини . Вектор - називається -вимірним випадковим вектором або -вимірною випадковою величиною.

При цьому, відображення розглядається як вимірне відображення на простір , де є -алгебра борелєвих множин в . Тому для будь-якої борелєвої множини можна визначити ймовірність

.

Ймовірність називають розподілом випадкового вектора . У частинному випадку, якщо , одержимо функцію, яку називають функцією розподілу випадкового вектора :

.

Подія розглядається як сумісне настання подій ,…, .

Очевидно,

.

Оскільки , а , то

,

.

Із останньої властивості випливає, що за функцією розподілу вектора можна знайти функцію розподілу вектора для довільного k=1,…,m, зокрема, можна знайти функцію розподілу кожної компоненти вектора.

Відзначимо також, що функція розподілу по кожній із змінних неспадна і неперервна зліва.

Розглянемо двовимірний випадковий вектор . Тоді для функції розподілу будуть справедливі рівності:

,

, ,

.

Якщо існує функція така, що

,

то функцію називають щільністю розподілу випадкового вектора , а розподіл випадкового вектора називають абсолютно неперервним.

Із даного означення випливає:

1) ;

2) якщо – точка неперервності , то ;

3) ;

4) для довільної борелєвої множини

.

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільності розподілу його компонент. Розглянемо, як частинний випадок, двовимірну випадкову величину зі щільністю . Тоді

,

звідки

,

а

.

Як приклад розглянемо багатовимірний нормальний розподіл. Випадкова величина називається нормально розподіленою, якщо її щільність розподілу

,

де , – невироджена квадратна матриця, додатньо-визначена, розміром , – детермінант матриці .

У випадку двовимірного нормального розподілу щільність розподілу має вигляд:

Якщо , то , де

– щільність розподілу випадкової величини , а – щільність розподілу випадкової величини .

За щільністю розподілу випадкового вектора знайдемо щільність розподілу випадкової величини . Тоді

.

Після виконання в інтегралі підстановки , , одержимо:

Це означає, що величина , аналогічно величина . Тобто, якщо випадковий вектор нормально розподілений, то кожна із випадкових величин і має нормальний розподіл.

Випадковий вектор називається дискретним, якщо множина його значень скінченна або зліченна. Розглянемо для спрощення двовимірну випадкову величину . Нехай , , , , тоді кожній парі можна поставити у відповідність ймовірність . Тут . Таку відповідність називають законом розподілу. Його можна подати у вигляді такої таблиці:

		.....
		.....
…	…	.....	…..	…..
		.....
		.....

Якщо , то утворюють повну групу і , тому . Отже, за аксіомою адитивності . Так само . При цьому, .

Вправи.

18. Випадковий вектор має рівномірний розподіл в області , якщо його щільність розподілу має вигляд Знайти сталу c.

19. Випадковий вектор має щільність розподілу де . Знайти і .

20. Знайти закони розподілу дискретних випадкових величин і , якщо випадковий вектор заданий законом розподілу

	-2	0	2	4
1	0,1	0,2
2		0,1	0,2
3		0.1	0,2	0,1