3.7. Умовні розподіли

Нехай - випадковий двовимірний вектор, і – дискретні випадкові величини, приймає значення , приймає значення . Кожній парі таких чисел можна поставити у відповідність ймовірність . Тоді за теоремою множення

.

Позначимо . Нехай , тоді

.

Розподіл ймовірностей називається умовним розподілом випадкової величини відносно випадкової величини (при умові, що випадкова величина прийняла фіксоване значення ).

Оскільки , то очевидно,

.

Нехай розподіл вектора – абсолютно неперервний із щільністю сумісного розподілу . Розглянемо подію , і нехай додатна. Тоді умовна ймовірність події при умові дорівнює

.

Це функція розподілу, що відповідає умовному розподілу при умові . Нехай . Тоді

.

При фіксованому x ця границя, як функція від y, є функцією розподілу

і називається умовною функцією розподілу величини при умові .

Якщо – неперервна по , то одержану функцію розподілу можна продиференціювати по , тоді одержимо відповідну умовну щільність розподілу

при умові .

Очевидно, .

Приклад. Випадкова величина має нормальний розподіл. Довести, що умовний розподіл є також нормальним.

Розв’язування. Так як щільність двовимірного нормального розподілу

,

а

,

то, ввівши тимчасові позначення , одержимо:

або

.

Отже, умовна щільність розподілу

співпадає із щільністю нормального закону із параметрами і .

Вправи.

30. Знайти умовний розподіл , якщо задано закон розподілу дискретного випадкового вектора . Таблиця вправи 20.

31. Задано щільність розподілу випадкового вектора якщо . Знайти умовну щільність розподілу при умові : .

Розділ 4. Числові характеристики випадкових величин

4.1. Математичне сподівання

4.1.1. Означення математичного сподівання. Приклади. Нехай випадкова величина – дискретна із можливими значеннями і відповідними ймовірностями . Сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності, з якими ці значення приймаються, називається математичним сподіванням дискретної випадкової величини (якщо множина значень випадкової величини зліченна, то за умови збіжності ряду ) і позначається або :

. (1)

Нехай випадкова величина – неперервна із щільністю , тоді

, (2)

якщо інтеграл – збіжний.

Часто математичне сподівання називають середнім значенням випадкової величини. Для математичного сподівання використовують і таке позначення: .

Якщо відома функція розподілу , то обидва ці випадки можна об’єднати і подати математичне сподівання інтегралом Стільтьєса

. (3)

Знову ж, за умови абсолютної збіжності інтегралу.

Відзначимо, що математичне сподівання визначають і за допомогою інтеграла Лебега

.

Приклади.

1. Математичне сподівання випадкової величини, що має біномний розподіл. Нехай дорівнює числу появ події в незалежних експериментах. Тоді приймає значення із ймовірностями . Тому

.

Отже, для біномного розподілу .

2. Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона приймає значення з ймовірностями . Тоді

.

3. Математичне сподівання випадкової величини, що має рівномірний на відрізку розподіл. Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Тому за формулою (2)

.

4. Математичне сподівання випадкової величини, що має нормальний розподіл. Випадкова величина має нормальний розподіл, якщо її щільність має вигляд

.

Із (2) одержуємо:

бо .

Отже, параметр , що входить в щільність нормального розподілу, є .

5. Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Коші. Щільність розподілу Коші має вигляд:

.

Тому із (2) . Але такий невласний інтеграл є розбіжним, тому для випадкової величини, що має розподіл Коші, математичне сподівання не існує.

4.1.2. Властивості математичного сподівання (випадок дискретно розподілених випадкових величин).

1. .

Позначимо , тоді і , тому .

2. Нехай – індикатор випадкової події . Тоді , тобто математичне сподівання індикатора випадкової події дорівнює ймовірності подій.

Дійсно, .

3. , де .

4. .

Справедливість властивості випливає із означення:

.

5. .

За першою властивістю

.

Застосуємо дану властивість для знаходження математичного сподівання біномного розподілу. Нехай – число появ події в і-ому експерименті, тоді приймає два можливих значення: 0 з ймовірністю і 1 з ймовірністю . Тоді . Число появ події в експериментах , тому .

6. Якщо , то . . Якщо і , то .

За першою властивістю , бо . А за властивостями 4 і 5 , тому . Друга нерівність випливає із властивості 1. Якщо і , то , а це можливо, коли для будь-якого . Із умови випливає . Тоді .

7. Нехай , тоді

За властивістю 1 . Аналогічно доведенню властивості 1, введемо події , тоді

.

8. Якщо і – незалежні, то .

Із рівностей , одержуємо

.

За властивостями 2 і 5, врахувавши незалежність випадкових величин, одержуємо

.

9. Якщо функція випукла вниз на , то для будь-якої випадкової величини

.

Для доведення використаємо той факт, що для будь-якої випуклої функції і будь-якої точки знайдеться така стала , що для всіх . Покладемо в цій нерівності і, взявши математичне сподівання обох частин нерівності , при врахуванні рівності , одержимо .

10. Нерівність Ляпунова. Якщо , де , то

.

Для доведення розглянемо функцію . Тоді , а , отже – випукла вниз. Тоді за властивістю 9 для будь-якої випадкової величини або . Якщо підставимо в останню нерівність і піднесемо обидві частини одержаної нерівності до степеня , то одержимо необхідну нерівність.

11. Нерівність Коші-Буняковського. Для будь-яких випадкових величин і

.

Оскільки для довільного , то і . Підносячи до квадрату, одержимо квадратну нерівність , що справедлива для довільного , а це можливо, коли дискримінант .

4.1.3. Доведення деяких властивостей математичного сподівання для неперервних випадкових величин. Властивості 1, 2, 3 стосуються дискретних випадкових величин, а властивості 4 – 11 справедливі і для неперервних випадкових величин. Доведемо деякі із цих властивостей.

4. .

При рівність правильна. Розглянемо випадок, коли . Тоді , а Тому

.

Аналогічно розглядається випадок .

5. .

Якщо має щільність розподілу , то щільність розподілу суми має вигляд . Тому за формулою (2)

.

Змінимо порядок інтегрування і зробимо заміну у внутрішньому інтегралі, тоді

бо , а

.

7. Якщо – борелєва функція і , тоді

Нехай – зростаюча. Тоді із пункту 3.5 .

В інтегралі , зробимо заміну , тоді . Аналогічно розглядається випадок спадної функції. В загальному випадку ця властивість випливає із властивостей інтеграла Лебега.

8. Якщо і – незалежні, то .

Використаємо вигляд щільності розподілу добутку випадкових величин із пункту 3.6.3, із врахуванням незалежності, маємо . Тоді

.

Змінимо порядок інтегрування, тоді

.

Після виконання заміни у внутрішньому інтегралі, одержимо:

.

Властивість 6 випливає із зображення математичного сподівання інтегралом Лебега

і властивостей інтеграла Лебега. Властивості 9 – 11 випливають із властивості 6 і властивостей інтеграла Лебега.

Вправи.

1. Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром . Знайти .

2. Знайти та , якщо дискретна випадкова величина задана законом розподілу

   	-2	-1	0	1
   P	0,4	0,3	0,1	0,2

3. Випадкова величина має гамма-розподіл: . Знайти .