3.2. Властивості функції розподілу

1. , бо , а ймовірність міститься в межах від 0 до 1.

2. - неспадна: для довільних .

Дійсно, і події в правій частині несумісні, тому . Оскільки , то із попередньої рівності випливає, що . Одночасно одержуємо такий

Наслідок. .

3. Функція розподілу неперервна зліва, тобто, .

Для доведення розглянемо таку зростаючу послідовність , що . Тоді послідовність подій є зростаючою і . На основі аксіоми неперервності , а це означає, при врахуванні другої властивості, неперервність зліва.

4. , .

Розглянемо дві числові послідовності і : – зростаюча і , а – спадна і . Тому послідовність подій є зростаюча, а – спадна послідовність подій, при цьому, , а . За аксіомою неперервності і . Враховуючи монотонність функції розподілу, це і доводить дану властивість.

5. .

Розглянемо подію , тоді і .

Тому .

Наслідок. є неперервною в точці тоді і тільки тоді, коли .

6. .

Оскільки події і – несумісні і = , тому P +P =P . Звідси, із врахуванням властивості 5, випливає справедливість даної властивості.

7. Множина точок розриву функції розподілу не більш як зліченна.

Точок розриву, у яких величина стрибка не менше 1, не більше 1;…; точок розриву, у яких величина стрибка не менше , не білше n;…. Об’єднання не більше як зліченної сукупності не більше як зліченних множин є не більше як зліченна множина.

Вправи.

3. Задано функцію розподілу випадкової величини Знайти ймовірність того, що випадкова величина приймає значення із проміжку .

4. Довести, що величина може набувати значення з додатною ймовірністю, якщо її функція розподілу має розрив у цій точці.

5. Якщо деяка функція задовольняє властивостям 1 – 4, то існує випадкова величина, для якої дана функція буде функцією розподілу. Довести це.

6. Випадкова величина задана функцією розподілу Знайти ймовірність того, що випадкова величина в чотирьох випробуваннях три рази прийме значення із проміжку .

3.3. Дискретні випадкові величини

Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна або зліченна.

Можливі значання дискретної випадкової величини характеризують її ще не повністю, а для повної ймовірнісної характеристики випадкової величини необхідно знати і ймовірності, з якими ці значення приймаються.

Якщо – дискретна випадкова величина, що приймає значення , то для кожного n визначена ймовірність

. (1)

Набір ймовірностей (1) називають розподілом випадкової величини .

Відповідність між можливими значеннями випадкової величини та ймовірностями, з якими ці значення приймаються, називається законом розподілу (рядом розподілу) дискретної випадкової величини.

Оскільки події утворюють повну групу, то і

.

Закон розподілу дискретної випадкової величини зручно подавати у вигляді таблиці:

Значення			…		…
Ймовірності			…		…

За законом розподілу дискретної випадкової величини можна знайти її функцію розподілу. Якщо , то подія , тому . Якщо , то . Тому . Отже,

. (2)

Функція розподілу дискретної випадкової величини має скінченні розриви у кожній точці і величина розриву, за властивістю 5, дорівнює . Між сусідніми точками розриву функція розподілу є сталою.

Розглянемо приклади важливих дискретних розподілів.

Біномний розподіл. Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному із яких ймовірність настання події A дорівнює p. Біномним розподілом називається розподіл випадкової величини , яка дорівнює числу настання події в випробуваннях Бернуллі. Можливими значеннями випадкової величини є числа k = 1, 2, … , n, а відповідні ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі

.

Як ми уже відзначали, .

Розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Пуассона із параметром >0, якщо вона приймає значення 0, 1, … , n, …, а відповідні ймовірності знаходяться за формулою:

.

Очевидно, .

Розподіл Пуассона відіграє важливу роль в теорії випадкових процесів, теорії масового обслуговування, теорії надійності. Розподіл Пуассона є граничним для біномного розподілу.

Геометричний розподіл. Випадкова величина має геометричний розподіл, якщо вона дорівнює числу експериментів до першої появи події в схемі Бернуллі (без експерименту, в якому подія настала).

Нехай , тоді множина може розглядатись як простір елементарних подій. Враховуючи незалежність подій, одержуємо: . Отже,

і

.

Нехай , тоді . Дійсно,

.

Наведена властивість геометричного розподілу називається властивістю відсутності післядії. Відзначимо, що серед всіх дискретних розподілів цю властивість має тільки геометричний розподіл.

Вправи.

7. Знайти функцію розподілу дискретної випадкової величини, що задана законом розподілу

   Значення	-1	0	2
   Ймовірності	0,2	0,3	0,5

8. Нехай – число випадань герба при 4-х киданнях монети. Знайти закон розподілу випадкової величини та її функцію розподілу.

9. Стрілець, що має п’ять патронів, стріляє по мішені до першого попадання. Знайти закон розподілу числа зроблених пострілів, якщо ймовірність попадання в мішень при одному пострілі дорівнює p.

10. В партії із 8 деталей є 6 стандартних. Випадково вибирається три деталі. Знайти закон розподілу та функцію розподілу числа стандартних деталей із вибраних.