2.2. Граничні теореми в схемі Бернуллі

2.2.1. Теорема Пуассона. Якщо ймовірність настання події близька до нуля або одиниці, то для знаходження в цьому випадку застосовують наближену формулу, що одержується із теореми Пуассона.

Теорема. Якщо в серії із незалежних випробувань ймовірність настання події є сталою в серії і рівною і при так, що , то при довільному сталому

.

Доведення. Нехай , тоді

.

Так як – стале, то при кожен із множників , , ,…, , прямує до одиниці, а , тому при .

Теорема доведена.

Теорема Пуассона використовується при обчисленні ймовірностей рідких подій, коли число випробувань досить велике, а ймовірність настання події в кожному випробуванні досить мала. Таким чином, при великих n і малих p можемо використовувати наближену формулу

, (3)

де .

Приклад 2. Прилад містить 2000 однаково надійних елементів. Ймовірність відмови кожного із них дорівнює 0,0005. Яка ймовірність відмови приладу, якщо вона настає при відмові більше, ніж двох елементів?

Розв’язування. Нехай A – відмова більше, ніж двох елементів, – відмова і елементів, тоді . Так як – досить велике, а – мале, то для знаходження ймовірностей подій можемо використати наближену формулу (3), в якій . Тому

,

а .

Вправи.

4. Ймовірність подзвонити абоненту на телефонну станцію протягом хвилини дорівнює 0,005. Телефонна станція обслуговує 600 абонентів. Знайти ймовірність того, що протягом хвилини на станцію подзвонить принаймні один абонент.

5. Ймовірність виходу із ладу приладу за час випробування . Знайти ймовірність того, що із 500 приладів вийдуть з ладу за час випробування: a) рівно 5 приладів; б) менше 5 приладів.

2.2.2. Локальна гранична теорема Муавра-Лапласа. При великих n обчислення ймовірностей досить громіздке, тому необхідно мати асимптотичні формули, за якими ці ймовірності можна знаходити наближено. Одну із таких наближених формул ми уже розглянули. Але, якщо ймовірність не є близькою до нуля або одиниці, то теорема Пуассона дає велику похибку. В цьому випадку вигідно застосовувати наступну теорему.

Теорема. Якщо ймовірність настання події в кожному з незалежних випробувань є сталою і дорівнює p , відмінною від 0 і 1, то рівномірно по , для яких міститься в сталих межах , має місце співвідношення

, (4)

де – функція Гауса.

Доведення. Використаємо формулу Стірлінга: . Тоді із формули Бернуллі одержуємо:

, (5)

де .

Із визначення x випливає, що

, (6)

тому при . Оскільки , то , , тому

,

а

(7)

при рівномірно по k, для яких .

Враховуючи (6), для першого множника в (5) одержимо:

(8)

при рівномірно по k, для яких .

Позначимо , тоді із (6)

.

Використовуючи розклад функції за формулою Тейлора і враховуючи, що величини і прямують до нуля при рівномірно по k, для яких , то при

,

,

де оцінки залишкових членів рівномірні по x в будь-якому скінченному проміжку. Тому

,

а це означає, що

(9)

при рівномірно по k, для яких .

Із (5), (7), (8), (9) випливає (4). Теорема доведена.

Практичне використання доведеної теореми основане на наближеній формулі

, (10)

де – функція Гауса, а . Значення функції Гауса можна знайти за таблицями (таблиця 1), які містяться у більшості підручників з теорії ймовірностей.

Приклад 3. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане 90 разів.

Розв’язування. Використаємо локальну теорему Муавра-Лапласа в якій покладемо:

n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 90. Тоді , а за таблицею 1 . Отже, із (10) одержуємо .

Вправи.

6. Гральний кубик підкидають 120 разів. Знайти найімовірніше число випадання 5 очок та його ймовірність.

7. В коло вписано квадрат. Оцінити ймовірність того, що із 100 випадково кинутих точок в круг рівно 75 попадуть в квадрат.

2.2.3. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. При розв’язуванні задач часто виникає необхідність знаходити ймовірності того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. За локальною граничною теоремою це робити незручно, а вигідно застосовувати наступну теорему.

Теорема. Нехай – число появ події в незалежних випробуваннях в кожному із яких ймовірність її настання є сталою і дорівнює p (0< p <1), то рівномірно відносно a і b справедливе співвідношення

. (11)

Доведення. Нехай , . Тоді

. (12)

Розглянемо функцію

Оскільки функція є сталою на кожному із проміжків , то

. Отже, із (12)

, (13)

де і – числа, які визначаються із нерівностей

, . (14)

Представимо (13) у вигляді

, (15)

де

.

Із визначення функції випливає, що вона досягає найбільшого значення на проміжку , де – найімовірніше число настання події. Оскільки проміжок зміни скінченний, то за локальною граничною теоремою при . Це означає, що при великих

.

Тому із (14) одержуємо, що

,

тобто,

(16)

при .

Нехай

, (17)

де C – деяка стала. Тоді за локальною граничною теореммою при

,

де при рівномірно відносно .

Нехай . Тоді

.

Оскільки при , то при рівномірно відносно і рівномірно відносно a і b , а при рівномірно збігається на проміжку до . Отже, із (15) і (16) для випадку випливає твердження (11).

Знімемо тепер обмеження (17).

Із рівності

випливає, що для довільного знайдеться таке C, що

. (18)

Зафіксуємо таке число C. За доведеним одержимо, що знайдеться таке , що для всіх , тому , а

(19)

для .

Розглянемо довільний проміжок [a,b] і позначимо . Так як , то, за доведеним, знайдеться таке , що для всіх

. (20)

Із нерівності

+

одержуємо, врахувавши (18) – (20), для

для всіх a і b. Теорема доведена.

Із теореми випливає, що при великих має місце наближена рівність

. (21)

Нехай – функція Лапласа, значення якої можна знайти за таблицею 2. Таблиця складена для значень , а при покладають , крім того враховуємо, що . Використовуючи рівність

,

(21) можна записати у вигляді

. (22)

Позначимо через – ймовірність того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. Тоді із (21) і (22) одержуємо

або

, (23)

де .

Приклад 4. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане не менше 80 і не більше 90 разів.

Розв’язування. Використаємо інтегральну теорему Муавра–Лапласа, в якій покладемо n = 100, p = 0,8, q = 0,2, = 80, = 90. Тоді , . За таблицею 2 (0) = 0, (2,5) = 0,4938. Отже, .

Розглянемо ймовірність , де – число настання події A в експериментах, – відносна частота події, – довільне число, а . Таким чином, ми розглядаємо ймовірність того, що відносна частота події відрізняється від ймовірності події за модулем менше, ніж на . Тоді

. (24)

При за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа права частина рівності (24) прямує до , тому

.

Цю рівність називають теоремою Бернуллі, яка є найпростішою формою закону великих чисел. Дана теорема стверджує, що при великих n, з ймовірністю як завгодно близькою до 1, виконується наближена рівність .

Покладаючи в рівності (22) , , враховуючи непарність функції , із рівності (24) одержимо

. (25)

Приклад 5. Ймовірність настання події в кожному із 10000 незалежних випробувань

p = 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота настання події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,01.

Розв’язування. Використаємо формулу (25). За умовою n = 10000, p = 0,75, q = 0,25, . Тоді . За таблицею 2 знаходимо

(2,31) = 0,4893. Отже, .

Приклад 6. Ймовірність настання події в кожному із незалежних випробувань p = 0,9. Скільки необхідно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,95 можна було сподіватись, що відносна частота настання події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,01?

Розв’язування. Використаємо формулу (25):

.

За умовою = 0,95, p = 0,9, q = 0,1, . Для знаходження n одержуємо рівняння або . За таблицею 2 одержуємо . Тому , а n = 3458.

За допомогою формули (25) можна оцінити ймовірність по відносній частоті. Нехай проведена деяка серія із n експериментів, при цьому подія A настала k разів. Необхідно знайти межі, в яких із заданою ймовірністю міститься невідома ймовірність . Для цього із рівності

необхідно знайти . Позначимо

, (26)

тоді за таблицею 2 із рівняння знаходимо . Тому із (26) одержуємо

.

Отже, із (25) випливає, що з ймовірністю виконується нерівність

. (27)

Якщо врахуємо, що , і розв’яжемо нерівність (27) відносно p, то одержимо шукані межі для ймовірності p. Результат досить громіздкий. Для його спрощення використаємо, що , тоді із (27) випливає нерівність , звідки одержуємо більш прості межі для p:

.

Вправи.

8. Серед виготовлених заводом виробів 80% стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 900 виробів стандартних буде не менше 700.

9. Підприємство випускає 75% першосортних виробів. Знайти ймовірність того, що із 300 вибраних виробів першосортними виявляться: a) рівно 200; б) від 219 до 234.

10. Скільки пострілів необхідно здійснити, щоб з надійністю відхилення відносної частоти влучень від ймовірності за модулем не перевищувало 0,01?

11. Перевіряється 500 виробів, серед яких 90% стандартних. Знайти з ймовірністю 0,95 межі, в яких міститься число стандартних виробів серед перевірених.

12. Проведено незалежних дослідів, у яких подія A настала разів. Знайти межі для ймовірності , які можна гарантувати з ймовірністю .

32