Одержана формула називається формулою повної ймовірності. Відзначимо, що формула буде правильною і для зліченної кількості подій.

Приклад 5. Робітник обслуговує три верстати, на яких обробляються однотипні деталі. Ймовірність браку для першого верстата дорівнює 0,02, для другого – 0,03, для третього – 0,04. Оброблені деталі складаються в один ящик. Продуктивність першого верстата в три рази більша, ніж продуктивність третього, а другого – в два рази більша, ніж продуктивність третього. Знайти ймовірність того, що випадково взята із ящика деталь буде бракована.

Розв’язування. Нехай подія A – випадково взята із ящика деталь, буде бракована. Тоді ця подія може настати із однією із подій – взята деталь оброблена на i – му верстаті ( ). Події утворюють повну групу. Застосуємо формулу повної ймовірності

.

Ймовірності задані в умові задачі;

; ; .

Для ймовірностей подій із умови задачі одержуємо систему:

; ; .

Звідки, , , . Підставляючи ймовірності і в формулу повної ймовірності, одержуємо:

.

Нехай виконуються, вказані на початку пункту, умови і . Будемо вважати, що подія настала. Необхідно знайти . За теоремою множення , тому , а за формулою повної ймовірності

.

Одержані формули називаються формулами Байєса.

В статистичних застосуваннях події називаються гіпотезами, а – апріорною ймовірністю гіпотези . Умовна ймовірність називається апостеріорною ймовірністю гіпотези після настання події .

Приклад 6. Вся продукція перевіряється двома контролерами. Перший контролер перевіряє 55% всієї продукції, а другий – 45%. Ймовірність того, що перший контролер пропустить нестандартний виріб, дорівнює 0,01, а другий – 0,02. Випадково взятий виріб, що визнаний при перевірці стандартним, виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірявся другим контролером.

Розв’язування. Нехай A – подія, яка полягає в тому, що випадково взятий виріб є нестандартним, але при перевірці визнаний стандартним, – виріб перевірявся першим контролером, – виріб перевірявся другим контролером. Нам необхідно знайти . Використаємо формулу Байєса

.

За умовою задачі , . Так як перший контролер перевіряє 55% всієї продукції, а другий – 45%, то , а . Тому .

Вправи.

29. Серед N екзаменаційних білетів є n “щасливих”. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність взяти “щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

30. В кожній із двох урн міститься 6 білих і 4 чорних кулі. Із першої урни випадково вибираються дві кулі і перекладаються в другу. Знайти ймовірність того, що випадково вибрана після цього куля із другої урни буде біла.

31. Із 20 стрілків 4 попадають в мішень з ймовірністю 0,9, 10 – з ймовірністю 0,8, 6 – з ймовірністю 0,6. Знайти ймовірність того, що випадково взятий стрілок промахнеться.

32. Лічильник реєструє частинки трьох типів: A, B, C. Ймовірності появи цих частинок відповідно дорівнюють 0,2; 0,5; 0,3. Частинки кожного з цих типів лічильник реєструє відповідно з ймовірностями 0,8; 0,2; 0,4. Лічильник зареєстрував частинку. Знайти ймовірність того, що це була частинка типу A.

33. Три верстати виготовляють відповідно 25%, 35% і 40% всіх виробів. В їх продукції брак становить відповідно 2%, 3% і 5%. Випадково вибраний із всієї продукції виріб виявився бракованим. Яка ймовірність того, що він виготовлений першим верстатом?