1.2. Ймовірність випадкової події

1.2.1. Статистичне означення ймовірності. Коли ми проводимо деякий випадковий експеримент, то недостатньо знати, які події можуть настати в цьому експерименті, а необхідно ще знати деяку величину, яка б характеризувала можливість настання кожної події. Нехай в однакових умовах проводиться серія із n випадкових експериментів (випробувань), у кожному із яких може настати деяка подія A. Якщо – число експериментів, у яких подія настала, то відношення (відношення числа експериментів, у яких подія настала, до числа всіх проведених експериментів) називається відносною частотою настання події.

Відносна частота має такі властивості: ; ; ; якщо і – несумісні події ( ), то .

Спостереження показали, що при проведенні різних серій із великої кількості експериментів, відносні частоти події для цих серій мало відрізняються від певного числа. Ця закономірність називається властивістю статистичної стійкості відносних частот. Таким чином, з кожною випадковою подією можна пов’язати деяке стале число, біля якого групуються відносні частоти події, яке є характеристикою об’єктивного зв’язку між експериментом і випадковою подією, є об’єктивною характеристикою випадкової події.

Наприклад, статистичні спостереження показали, що відносна частота народження дівчаток близька до 0,486, відносна частота випадання герба, при киданні монети досить велику кількість раз, близька до числа 0,5.

Означення. Число, біля якого групуються відносні частоти випадкової події (до якого наближається відносна частота події A) при зростанні числа експериментів, називається ймовірністю події і позначається .

Це означення ймовірності називається статистичним. На практиці, при великій кількості експериментів, за ймовірність наближено приймають відносну частоту.

Із даного означення і властивостей відносної частоти випливають такі властивості ймовірності: ; ; ; якщо , то .

Дане означення ймовірності грунтується на реальному експерименті, але недолік його в тому, що для надійного визначення ймовірності необхідно провести велику кількість експериментів, які часто пов’язані з матеріальними витратами.

1.2.2. Ймовірнісна модель експерименту із скінченним або зліченним числом наслідків. Класичне означення ймовірності. Нехай простір елементарних подій скінченний або зліченний:

.

Кожній елементарній події поставимо у відповідність деяке число , що задовольняє умовам: , . Нехай подія . Покладемо

.

Тоді, очевидно, визначена таким чином ймовірність має такі властивості: ; ; ; якщо , то .

Теорія ймовірностей не вивчає методів визначення ймовірностей елементарних подій. При визначенні ймовірностей елементарних подій приймається до уваги інтуїтивне представлення про ймовірність, основане на статистичному означенні. Теорія ймовірностей вивчає методи знаходження ймовірностей різних складних подій.

Розглянемо частинний випадок розглянутої моделі, а саме, класичну модель, коли простір елементарних подій скінченний і елементарні події рівноможливі (немає підстав вважати, що одна із них настає частіше іншої). Нехай , а випадкова подія , . Виходячи із рівноможливості елементарних подій, одержуємо . Тоді . Отже, можна сформулювати наступне означення, яке називають класичним означенням ймовірності.

Означення. Нехай із експериментом пов’язані n рівноможливих елементарних подій, m із яких спричиняють подію , тоді

(відношення числа m, наслідків експерименту – елементарних подій, які спричиняють подію , до числа n, всіх рівноможливих наслідків експерименту, називають ймовірністю події ).

Для розв’язування задач із використанням класичного означення ймовірності необхідно: встановити суть випадкового експерименту; чи наслідки його є рівноможливі; підрахувати число всіх можливих наслідків експерименту і число наслідків, що спричиняють дану подію. Тому застосування класичного означення ймовірності частіше всього пов’язане із використанням комбінаторики.

Правило добутку. Нехай маємо дві множини із і елементів, тоді число різних упорядкованих пар, які можна утворити, взявши один елемент із першої множини, а другий – із другої, дорівнює . Якщо першу дію можна виконати m способами, а другу – n способами, то одну за другою дві дії можна виконати mn способами.

Множина разом із зазначеним порядком її елементів називається упорядкованою. Встановлений у скінченній множині порядок називається перестановкою її елементів. Число перестановок із n елементів дорівнює

.

Упорядковані k–елементні підмножини множини із n елементів називаються розміщеннями із n елементів по k. Число розміщень із n по k дорівнює

.

Довільні k–елементні підмножини множини із n елементів називаються комбінаціями із n елементів по k. Число комбінацій із n по k дорівнює

.

Приклад. В урні є 10 куль: 3 білих і 7 чорних. Із урни випадково вибирають дві кулі. Знайти ймовірність того, що вибрані кулі будуть білі.

Розв’язування. Експеримент, що розглядається у даній задачі, полягає у виборі двох куль із десяти. Так як вибір випадковий, то наслідки експерименту рівноможливі, тому n дорівнює числу способів вибору двох куль із десяти: . Нехай A – подія, яка полягає у тому, що вибрані кулі будуть білі. Тоді число наслідків експерименту, що спричиняють подію A, дорівнює числу способів вибору двох куль із трьох білих: . Отже, .

Вправи.

4. Навмання взятий телефонний номер складається із п’яти цифр. Знайти ймовірність того, що у ньому а) всі цифри різні; б) всі цифри парні.

5. На семи карточках написані букви: л, л, о, о, о, т, т. Випадково вибирають чотири букви і кладуть по порядку (зліва на право). Знайти ймовірність того, що утвориться слово “лото”.

6. Із колоди в 36 карт випадково вибирають три карти. Знайти ймовірність того, що: а) вони виявляться однакової масті; б) різної масті; в) рівно одна карта буде тузом; г) принаймні одна карта буде тузом.

7. Із 10 лотерейних білетів є 4 виграшні. Знайти ймовірність того, що із 5 випадково взятих білетів виграшними будуть: а) рівно 2; б) жодного; в) принаймні один.

8. Є 6 відрізків, довжини яких відповідно дорівнюють: 2, 4, 6, 8, 10, 12 одиниць. Яка ймовірність того, що із трьох випадково вибраних відрізків можна утворити трикутник?

9. Студент підготував 20 питань із 25. Знайти ймовірність того, що студент відповість на два питання із трьох йому випадково заданих.

1.2.3. Геометричне означення ймовірності. Нехай випадковий експеримент полягає у випадковому виборі точки із відрізка . Очевидно, множина елементарних подій даного експерименту незліченна. Оскільки вибір випадковий, то елементарні події рівноможливі, але застосувати раніше введену схему неможливо. Тому будемо говорити про ймовірність вибору точки із проміжку. Нехай A – подія, яка полягає у тому, що точка вибирається із відрізка . Припущення, що вибір випадковий, дає можливість вважати, що ймовірність вибору точки із відрізка не залежить від положення цього відрізка, а залежить тільки від його довжини і пропорційна його довжині. Враховуючи умову , одержимо: . Розглядаючи загальний випадок, приходимо до наступного означення.

Означення. Нехай простір елементарних подій є область , що має міру Лебега , а експеримент полягає у випадковому виборі точок із . Вимірні за Лебегом підмножини розглядаємо як випадкові події. Тому для покладемо

.

Задача про зустріч. Двоє осіб домовилися зустрітися в певному місці у проміжок часу від 0 до T. Моменти приходу кожного – випадкові і рівноможливі у проміжку . Перший, що приходить, чекає на другого протягом часу і, коли не дочекається, йде ( ). Знайти ймовірність події A – зустріч настане.

Розв’язування. Нехай – момент приходу першого, – момент приходу другого, тоді множина всіх наслідків експерименту – множина пар чисел із квадрата, і . Зустріч відбудеться тільки тоді, коли , тому – частина внутрішності квадрата, що розміщена між прямими і . Частина , що розміщена поза вказаними прямими є два рівнобедренні прямокутні трикутники із катетами , тому їх площа разом дорівнює , а . Отже,

.

Вправи.

10. Задача Бюфона. Площина розграфлена паралельними прямими на віддалі . На неї випадково кидається голка довжиною . Знайти ймовірність того, що голка перетне одну із прямих.

11. Стержень довжиною l навмання розламали на три частини. Знайти ймовірність того, що із цих частин можна утворити трикутник.

12. Випадково вибрано три відрізки, довжина кожного із яких не перевищує l. Знайти ймовірність того, що із цих відрізків можна утворити трикутник.

13. Із відрізка [0,2] випадково вибирають два числа. Знайти ймовірність того, що їх сума буде менша одиниці.

14. На колі із радіусом R навмання вибираються дві точки. Знайти ймовірність того, що відстань між ними не перевищує R.

15. Числа a і b вибираються навмання із відрізка [–1,1]. Знайти ймовірність того, що корені рівняння будуть комплексні.

1.2.4. Аксіоматичне означення ймовірності. При введенні ймовірності за допомогою аксіом необхідно їх вибирати так, щоб ймовірність зберігала властивості відносної частоти. Тільки у цьому випадку теорія буде узгоджуватись із практикою. Найбільш поширеною є аксіоматична побудова теорії ймовірностей, що запропонована в 1933 році А.М.Колмогоровим.

Означення. Нехай задано простір елементарних подій і алгебру подій . Ймовірністю події називають функцію визначену на алгебрі подій (кожній події ставиться у відповідність число ), при цьому виконуються умови (аксіоми):

P1. ;

P2. ;

P3. для довільних , таких, що (аксіома скінченної адитивності);

P4. для довільних , таких, що при і (аксіома зліченної адитивності).

Відзначимо, що із P4 випливає P3, але не навпаки. Пізніше ми будемо використовувати саме таку групу аксіом. В означенні ми вважали, що – алгебра подій. Але ймовірність можна визначити і на сігма-алгебрі. Наведемо без доведення наступну, відому в теорії міри, теорему Каратеодорі.

Теорема 1.1 (про продовження ймовірності). Нехай – визначена на алгебрі і виконуються аксіоми P1 – P4. Тоді існує єдина функція , яка визначена на мінімальній сігма–алгебрі, що породжена , при цьому виконуються аксіоми P1 – P4 і для довільної події .

На основі цієї теореми, ми можемо вважати, що в аксіоматичному означенні ймовірності є -алгеброю подій. Аксіоми P1 і P4 означають, що функція є мірою, для якої виконується додаткова умова P2. Така міра називається ймовірнісною. Трійка , де – простір елементарних подій, – алгебра подій, P – ймовірнісна міра, називається ймовірнісним простором.