9. Нахождение ошибок косвенных измерений

Большей частью искомая величина определяется путем косвенных измерений. В этом случае необходимо определить ошибку результата, зная ошибки, допущенные при измерении величин, входящих в формулу окончательного результата. Правила для вычисления ошибок косвенных измерений можно получить методам дифференциального исчисления*². Рассмотрим основные из них.

1. Если y = a b, то

, (12)

т. е. квадрат абсолютной о

шибки суммы (разности) равен сумме квадратов абсолютных ошибок (уменьшаемого и вычитаемого).

.

Относительная ошибка разности содержит в знаменателе разность двух величин, поэтому, если они близки, то ошибка для каждой величины.

2. Ошибка произведения y = a · b

. (13)

3. Ошибка частного y = a/b

.

Кавдрат относительной ошибки произведения (частного) равен сумме квадратов относительных ошибок сомножителей(делимого и делителя).

Абсолютную ошибку при этом можно найти по формуле y = y · E.

4. Ошибка степени y = aⁿ

. (14)

Относительная ошибка степени равна произведению показателя степени на относительную ошибку основания.

Относительная ошибка степени в n раз больше, чем относительная ошибка основания, поэтому величины, стоящие в формулах в степени

(при n > 1), необходимо измерить особенно тщательно.

5. Ошибка корня y = . Так как корень можно представить в виде дробной степени

y = a^1/n,

то ошибка корня сводится к ошибке степени

. (15)

Формулы для определения ошибок косвенных измерений приведены в прилож., табл. 2.

Во многих лабораторных работах косвенные измерения проводятся в не воспроизводимых условиях, то есть повторные измерения возможны только для опыта в целом, а не для отдельных измеряемых величин а_i. В этом случае вычисляются значения результатов для каждого опыта y₁, y₂… y_n , а ошибки полученных результатов определяются также, как это делается для прямых измерений.

10. Класс точности приборов и приборные ошибки

Если случайные ошибки результатов измерений меньше, чем ошибки, которые дают измерительные приборы, то за ошибку окончательного результата серии измерений принимается приборная ошибка. Приборная ошибка косвенных измерений определяется по формулам (12)  (15), при этом вместо абсолютных ошибок а ставят или половину цены наименьшего деления применяемых приборов, или абсолютную ошибку показаний прибора, определяемую точность прибора.

Точностью прибора называется точность измерения, которая может быть достигнута этим прибором в случае, когда способ его применения не вызывает дополнительных ошибок. Точность прибора почти всегда выше точности отсчета по шкале. Точность прибора указывается либо на самом приборе, либо в прилагаемом паспорте прибора. Если же ни на приборе, ни в паспорте точность не указывается, то в качестве последней берется половина цены(или целого) наименьшего деления.

Например, если мы измеряем длину миллиметровой масштабной линейкой, то легко можем на глаз отсчитать десятые доли миллиметра, но обычная линейка может и не обеспечить такой точности. Сколько бы раз мы не повторяли измерение, точность полученного нами результата не превысит точности, обеспеченной при изготовлении линейки, то есть с ростом числа измерений точность увеличивается и приближается к точности самого прибора, но не может быть сделана выше последней.

Если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то вычисленная по общему правилу погрешность измерения равняется нулю, что не может быть из-за несовершенства приборов. Поэтому при вычислении результата вместо средних арифметических абсолютных ошибок измерений отдельных величин подставляются точности приборов.

Для характеристики точности большинства электроизмерительных приборов пользуются приведенной погрешностью. Приведенной погрешностью или классом точности прибора называется число(в процентах), равное отношению абсолютной погрешности к предельному значению измеряемой величины А_пр , то есть к наибольшему ее значению, которое может быть измерено данным прибором.

Е_пр = А / А_пр. (16)

Необходимость движения приведенной погрешности объясняется тем, что значение относительной погрешности Е = А / А, характеризующей точность измерения, изменяется в зависимости от значения измеряемой величины при постоянной абсолютной погрешности.

Согласно ГОСТу, по степени точности электроизмерительные приборы делятся на 6 классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; погрешности прибора, выраженной в процентах. При этом абсолютная погрешность вычисляется по формуле

А = Е_пр · А. (17)

Так, миллиампер класса 0,5 со шкалой 100 м А даст в любом месте шкалы абсолютную погрешность

А =  100 · 0,005 =  0,5 м А.

Приборы классов 0,1; 0,2; 0,5 применяются для точных измерений и называются прецизионными. Приборы с приведенной погрешностью больше 2,5 % считаются внеклассовыми. Класс приборов обычно указывается на его шкале цифрой взятой в кружок.

В прилож. табл. 3 приводятся погрешности инструментов и приборов наиболее часто встречающихся в лабораторном практикуме.