3. Принцип среднего арифметического. Закон распределения случайных ошибок

Пусть произведено n измерений некоторой величины. Обозначим результаты всех измерений соответственно а₁, а₂ …… а_n; неизвестное точное значение измеряемой величины обозначим через х, а случайные истинные ошибки измерений – соответственно через х₁, х₂ ,……… х_n , тогда

х₁ = х - а₁ ;

х₂ = х – а₂ ;

х_n = х – а_n . (1)

Так как величина х неизвестна, то истинные ошибки тоже неизвестны. Поэтому истинное значение измеряемой величины заменяют средним арифметическим а_ср результатов всех измерений

, (2)

а истинные ошибки х₁ отдельных измерений заменяют отклонениями результатов этих измерений от среднего арифметического:

а₁ = а_ср - а₁ ;

а₂ = а_ср – а₂ ;

а_n = a_ср – а_n ; (3)

Каждое отклонение а₁ известно, так как а₁ и а_ср известны.

Появление того или иного значения является случайным событием. Поэтому можно говорить только о вероятности появления данного значения ошибки.

Вероятностью Р_а случайного собы

тия А называется предел отношения числа n_a случаев, когда событие А произошло, к общему числу n всех случаев при n , то есть

Р_а = lim (n_a/n). (4)

Величина Р_а может иметь только значения ≤ 1.

Вероятность появления тех или иных значений случайных ошибок в большинстве случаев подчиняется закону нормального распределения вероятностей: 1) Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений; 2) при большом числе измерений ошибки одинаковой величины, на разного знака встречаются одинаково часто; 3) частота появления ошибок уменьшается в увеличением величины ошибок (по абсолютной величине), т. е. вероятность появления ошибок уменьшается с ростом ее величины.

Закон нормального распределения вероятностей для случайных величин аналитически выражается формулой Гаусса, которая применительно к случайным ошибкам записывается так:

, (5)

где e – основание натурального логарифма (е = 2,72).

Функция f (∆ а) называется плотностью распределения вероятностей. Она показывает зависимость вероятности появления величины а_i от значения а_i этой величины. График этой функции изображен на рис. 1.

Из рис. 1. видно, что характер кривой в большой степени зависит от величины σ², которая называется дисперсией распределения. Дисперсия распределения характеризует разброс

Рис. 1. Кривые плотности распределения вероятности случайных

ошибок.

случайных ошибок. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс ошибок (меньше вероятность появления больших ошибок). Численная величина дисперсии определяется всей совокупностью условий измерений (приборы, экспериментатор, методика измерений и пр.).